Poziom podstawowy
W poprzednim rozdziale już podaliśmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego. Tutaj przypomnimy go i przerobimy więcej przykładów oraz pokażemy inną wersję tego wzoru.
Wzór 1
Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) ma postać: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] gdzie:
\(a_1\) - to pierwszy wyraz ciągu,
\(r\) - różnica ciągu Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_1 = 7\) oraz \(r = 2\).
Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] podstawiając w miejsce \(a_1\) oraz \(r\) znane wartości: \[\begin{split} a_n &= 7 + (n - 1)\cdot 2\\[6pt] a_n &= 7 + 2n - 2\\[6pt] a_n &= 2n + 5 \end{split}\]
Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_1 = 13\) oraz \(r = -3\).
Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] podstawiając w miejsce \(a_1\) oraz \(r\) znane wartości: \[\begin{split} a_n &= 13 + (n - 1)\cdot (-3)\\[6pt] a_n &= 13-3n+3\\[6pt] a_n &= -3n + 16 \end{split}\]
Wyznacz \(60\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_1 = 4\) oraz \(r = 1\).
Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] podstawiając pod \(n\) liczbę \(60\), a w miejsce \(a_1\) oraz \(r\) znane wartości: \[ a_{60} = 4 + (60 - 1)\cdot 1 = 4+59=63 \]
W sytuacji gdy musimy obliczyć \(n\)-ty wyraz ciągu, a znamy \(k\)-ty wyraz i różnicę \(r\), to możemy skorzystać ze wzoru:
Wzór 2
Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \[a_n=a_k+(n-k)\cdot r\] gdzie:
\(a_k\) - to \(k\)-ty wyraz ciągu,
\(r\) - różnica ciągu Wyznacz \(47\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_{18} = -7\) oraz \(r = 2\).
Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_k+(n-k)\cdot r\] podstawiając do niego znane wartości: \[ a_{47} = -7 + (47- 18)\cdot 2 = -7+29\cdot 2=-7+58=51 \]
Zapisz wzór ogólny i oblicz dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) znając różnicę i pierwszy wyraz tego ciągu.
\(a_1=8, \ r=2\)
\(a_1=3, \ r=-1\)
\(a_1=60, \ r=-\frac{1}{2}\)
\(a_1=-5, \ r=-11\)
\(a_1=\frac{2}{3}, \ r=\frac{1}{6}\)
\(a_1=-2, \ r=\sqrt{2}\)
Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego \((a_n)\), którego początkowymi wyrazami są podane liczby. Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.
\(8,10,12,14\)
\(7,-3,-13,-23\)
\(11,22,33,44\)
\(0,\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2}\)
\(-2,-2\frac{1}{2},-3,-3\frac{1}{2}\)
\(1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}\)
Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\) o którym wiesz, że:
\(a_1=1\) oraz \(a_3=5\)
\(a_1=1\) oraz \(a_8=36\)
\(a_5=-6\) oraz \(a_7=-4\)
\(a_{11}=12\) oraz \(a_{20}=-6\)
Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest liczba \(x\)?
\(a_n = 3n-1,\quad x=26\)
\(a_n = 17-6n,\quad x=-1\)
\(a_n = 3(n-1)+n,\quad x=41\)
Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego jest liczba \(x\)?
\(5,8,11,... \quad x=38\)
\(12,8,4,... \quad x=-40\)
\(7\frac{1}{2},8,8\frac{1}{2},... \quad x=16\)
\(\sqrt{3},3\sqrt{3},5\sqrt{3},... \quad x=33\sqrt{3}\)
Wyznacz liczbę
\(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że:
a)
\(a_1=5,\ \ a_n=61,\ \ r=7;\)
b)
\(a_1=-27,\ \ a_n=15,\ \ r=3{,}5;\)
c)
\(a_1=2{,}3,\ \ a_n=48{,}8,\ \ r=3{,}1;\)
d)
\(a_1=2\frac{2}{3},\ \ a_n=33\frac{1}{3},\ \ r=1\frac{1}{3};\)
e)
\(a_1=6{,}3,\ \ a_n=-15{,}4,\ \ r=-0{,}7;\)
f)
\(a_1=-14{,}1,\ \ a_n=-21{,}54,\ \ r=-0{,}08;\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\gt 1\), są dane dwa wyrazy: \(a_1=2\) i \(a_2=5\). Stąd wynika, że \(n\)-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem
A.\( a_n=3n-1 \)
B.\( a_n=3n+2 \)
C.\( a_n=2n+2 \)
D.\( a_n=2n-1 \)
A
Liczby \( 2,-1,-4 \) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) określonego dla liczb naturalnych \( n\ge 1 \). Wzór ogólny tego ciągu ma postać
A.\(a_n=-3n+5 \)
B.\(a_n=n-3 \)
C.\(a_n=-n+3 \)
D.\(a_n=3n-5 \)
A
W ciągu arytmetycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=7\) oraz \(a_{2}=13\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyraz \(a_{10}\) jest równy
A.\((-47)\)
B.\(52\)
C.\(61\)
D.\(67\)
C
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3=13\)
i \(a_5=39\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
A.\( 13 \)
B.\( 0 \)
C.\( -13 \)
D.\( -26 \)
C
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
A.\( \frac{37}{2} \)
B.\( -\frac{37}{2} \)
C.\( -\frac{5}{2} \)
D.\( \frac{5}{2} \)
A
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy \(8\), zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy \(14\). Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:
A.\( 21 \)
B.\( 23 \)
C.\( 24 \)
D.\( 3 \)
B
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) w którym różnica
\(r=-2\) oraz
\(a_{20 }=17\). Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.\( 45 \)
B.\( 50 \)
C.\( 55 \)
D.\( 60 \)
C
W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: \(a_1=5\), \(a_2=11\). Wtedy
A.\( a_{14}=71 \)
B.\( a_{12}=71 \)
C.\( a_{11}=71 \)
D.\( a_{10}=71 \)
B
Ciąg \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\) jest arytmetyczny oraz
\(a_3=10\) i
\(a_4=14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.\( a_1=-2 \)
B.\( a_1=2 \)
C.\( a_1=6 \)
D.\( a_1=12 \)
B
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n \ge 1\), spełnia warunek \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\). Wtedy
A.\( a_4 = 5 \)
B.\( a_4 = 6 \)
C.\( a_4 = 3 \)
D.\( a_4 = 4 \)
A
Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_4 + a_5 + a_6 = 12\). Wtedy
A.\( a_5 = 4 \)
B.\( a_5 = 3 \)
C.\( a_5 = 6 \)
D.\( a_5 = 5 \)
A
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla
A.\( n=10 \)
B.\( n=11 \)
C.\( n=12 \)
D.\( n=13 \)
C
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem
\(a_n = -2n + 1\) dla \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa
A.\( -1 \)
B.\( 1 \)
C.\( -2 \)
D.\( 3 \)
C
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla \(n\ge 1\), w którym \(a_{10}=11\) oraz \(a_{100}=111\). Wtedy różnica \(r\) tego ciągu jest równa
A.\( \frac{9}{10} \)
B.\( -100 \)
C.\( \frac{10}{9} \)
D.\( 100 \)
C
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa
A.\( r=-16 \)
B.\( r=-\frac{1}{2} \)
C.\( r=-\frac{1}{32} \)
D.\( r=15\frac{1}{2} \)
B
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) określonym dla \(n\ge 1\) dane są \(a_1=-4\) i \(r=2\). Którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(156\)?
A.\( 81 \)
B.\( 80 \)
C.\( 76 \)
D.\( 77 \)
A
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnica tego ciągu jest równa \(2\). Wtedy
A.\( a_{24}-a_6=16 \)
B.\( a_{24}-a_6=20 \)
C.\( a_{24}-a_6=36 \)
D.\( a_{24}-a_6=38 \)
C
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o wyrazach dodatnich. Wtedy
A.\( a_4+a_7=a_{10} \)
B.\( a_4+a_6=a_3+a_8 \)
C.\( a_2+a_9=a_3+a_8 \)
D.\( a_5+a_7=2a_8 \)
C
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(2a_3=a_2+a_1+1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa
A.\( 0 \)
B.\( \frac{1}{3} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( 1 \)
B
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=-3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz
P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo
F – jeśli jest fałszywe.
| Liczby \(2,\ (−1),\ (−4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_n)\) | P | F |
| \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(5\). | P | F |
PF
Ciągi \((a_n), (b_n)\) oraz \((c_n)\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:
- \(a_n=6n^2-n^3\)
- \(b_n=2n+13\)
- \(c_n=2^n\)
Wskaż zdanie prawdziwe.
A.Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
B.Ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny.
C.Ciąg \((c_n)\) jest arytmetyczny.
D.Wśród ciągów \((a_n), (b_n), (c_n)\) nie ma ciągu arytmetycznego.
B
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(5\), a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \((−3)\). Wtedy iloraz \(\frac{a_4}{a_2}\) jest równy
A.\( \frac{5}{3} \)
B.\( 2 \)
C.\( 6 \)
D.\( 25 \)
C
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem ogólnym: \(a_n = 4n - 9\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).
Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).
\(50\)
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r = -4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\), jest równa \(16\).
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k = -78\).
\(a_1 = 26\) i \(k = 27\)
Trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równy \(4\), a trzydziesty piąty wyraz tego ciągu jest równy \(7\). Wówczas różnica ciągu \( (a_n) \) jest równa
A.\( 5 \)
B.\( 3 \)
C.\( \frac{5}{3} \)
D.\( \frac{3}{5} \)
D
Suma czwartego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego wynosi \(86\), a suma drugiego i trzynastego wyrazu tego ciągu jest równa \(22\). Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.
\(a_1=2\), \(r=5\)