Poziom podstawowy
Wzór
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego \((a_n)\) o ilorazie \(q\ne 1\), wyraża się wzorem:: \[S_n=a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q} \] Dla \(q=1\) mamy wzór trywialny: \(S_n=a_1\cdot n\)
Oblicz sumę \(9\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wzorze ogólnym \(a_n = 2^n\).
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu: \[a_1 = 2^1 = 2\] oraz iloraz \(q\): \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2^2}{2}=2\] Zatem szukana suma wynosi: \[S_9=a_1\cdot \frac{1-q^9}{1-q}=2\cdot \frac{1-2^9}{1-2}=2\cdot \frac{1-2^9}{-1}=2\cdot (2^9-1)=2^{10}-2=1022\]
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego równa się \(45\), a szósty wynosi \(1215\). Znajdź sumę ośmiu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Jeżeli \((a_n)\) jest nieskończonym i niemonotonicznym ciągiem geometrycznym, w którym \(a_1=16\) i \(a_3=1\), to suma wszystkich jego wyrazów wynosi:
A.\( 21\frac{1}{3} \)
B.\( 12{,}8 \)
C.\( 0{,}8 \)
D.\( 5\frac{1}{3} \)
B
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) są dane: \(a_2=-1, q=-2\). Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( 2{,}5 \)
B.\( -7{,}5 \)
C.\( -2{,}5 \)
D.\( 7{,}5 \)
C
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A.\( 1000a_1 \)
B.\( 1001a_1 \)
C.\( 10 \)
D.\( 0 \)
D
W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.