Poziom podstawowy
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne dodatnie liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny, to środkowa liczba jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych: \[b=\sqrt{a\cdot b}\] Skoro liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny, to możemy obliczyć iloraz tego ciągu na dwa sposoby: \[q=\frac{b}{a}\quad \text{oraz}\quad q=\frac{c}{b}\] Zatem mamy: \[\begin{split}\frac{b}{a}&=\frac{c}{b}\\[6pt] b^2&=a\cdot c \end{split}\] Skoro \(a,b\) i \(c\) są dodatnie, to obie strony równania są dodatnie, więc możemy wyciągnąć pierwiastek i bierzemy tylko rozwiązanie dodatnie: \[b=\sqrt{a\cdot c}\] Co należało udowodnić.
Z powyższego dowodu otrzymaliśmy jeszcze lepszą własność ciągu geometrycznego, która jest spełniona również dla liczb niedodatnich.
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny, to kwadrat środkowej jest równy iloczynowi liczb skrajnych: \[b^2=a\cdot c\] Liczby
\(2;\ 2x-1;\ 0{,}5\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla
A.\( x=0 \)
B.\( x=0 \) lub \(x=1\)
C.\( x=1 \)
D.\( x=-1 \)
C
Liczby
\(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa.
A.\( -3 \)
B.\( -1{,}5 \)
C.\( 1 \)
D.\( 15 \)
A
Liczby
\(12, 18, 2x + 1\) są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wynika stąd, że
A.\( x=11\frac{1}{2} \)
B.\( x=12 \)
C.\( x=12\frac{1}{2} \)
D.\( x=13 \)
D
Liczby
\(3x−4\), \(8\), \(2\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy
A.\( x=-6 \)
B.\( x=0 \)
C.\( x=6 \)
D.\( x=12 \)
D
Liczby: \( x-2,\ 6,\ 12 \), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \( x \) jest równa
A.\(0 \)
B.\(2 \)
C.\(3 \)
D.\(5 \)
D
Liczby \(2x, 16, x\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
\(x=8\sqrt{2}\) lub \(x=-8\sqrt{2}\)
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).
\(x=12\)
Ciąg \((2\sqrt{2},4,a)\) jest geometryczny. Wówczas
A.\( a=8\sqrt{2} \)
B.\( a=4\sqrt{2} \)
C.\( a=8-2\sqrt{2} \)
D.\( a=8+2\sqrt{2} \)
B
Liczby \(64, x, 4\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
\(a_5=\frac{1}{4}\)
Ciąg
\((27, 18, x+5)\) jest geometryczny. Wtedy
A.\( x=4 \)
B.\( x=5 \)
C.\( x=7 \)
D.\( x=9 \)
C
Wykaż, że liczby \(\sqrt{5}-2,\ \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{5}+2}{4}\) tworzą ciąg geometryczny.
Wykaż, że liczby \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}},\ \frac{2+\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{4}\) tworzą ciąg geometryczny.
Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa \(21\), a ich iloczyn wynosi \(216\). Znajdź ten ciąg.
Jaką jednakową liczbę należy dodać do każdej z liczb \(1, 10, 46,\) aby otrzymane sumy utworzyły ciąg geometryczny?
Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).
\(x=2\), \(y=9\)