Różne zadania z ciągu geometrycznego

Trzy lata temu pewne miasteczko liczyło \(25\ 000\) mieszkańców. Przez trzy ostatnie lata każdego roku liczba mieszkańców zmniejszyła się o \(10\%\). Oblicz, ile osób mieszka w tym miasteczku.

Kwadrat \(K_1\) ma bok długości \(a\). Obok niego rysujemy kolejno kwadraty \(K_2, K_3, K_4,...\) takie, że kolejny kwadrat ma bok połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek). Wyznacz pole kwadratu \(K_{12}\).

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

Z beczki zawierającej \(30\) litrów wina karczmarz zaczerpnął \(1\) litr, a następnie dolał \(1\) litr wody. Postąpił tak dziesięć razy. Ile czystego wina pozostało w beczce?

Między liczby \(3\) i \(\frac{16}{2187}\) wstaw trzy liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.

Między liczby \(12\) i \(2916\) wstaw cztery liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego równa się \(45\), a szósty wynosi \(1215\). Znajdź sumę ośmiu pierwszych wyrazów tego ciągu.

Dwa wyrazy środkowe ciągu geometrycznego, mającego szesnaście wyrazów, równają się \(\frac{7}{3}\) i \(\frac{7}{9}\). Znajdź pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Ciąg geometryczny składa się z pięciu wyrazów, których suma wynosi \(124\). Iloraz sumy wyrazów skrajnych przez wyraz środkowy równy jest \(4{,}25\). Wyznacz ten ciąg.

Wyznacz rosnący ciąg geometryczny, wiedząc, że suma wyrazów skrajnych jest równa \(34\), iloczyn tych wyrazów \(64\), a suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi \(62\).

Znajdź ciąg geometryczny o czterech wyrazach, w którym wyraz trzeci zmniejszony o sumę dwóch pierwszych jest równy \(3\), a czwarty wyraz zmniejszony o sumę dwóch środkowych jest równy \(6\).

Wyznacz czterowyrazowy ciąg geometryczny, wiedząc, że iloczyn wyrazów skrajnych tego ciągu jest równy \(27\), a suma kwadratów dwóch pierwszych wyrazów wynosi \(10\).

Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono \(61\) złotych. Za pierwszą i drugą razem zapłacono o \(11\) złotych więcej niż za trzecią. Ile zapłacono za każdą z książek?

Piłka odbijając się od ziemi osiągała za każdym razem wysokość wynoszącą \(\frac{2}{3}\) poprzedniej. Jak wysoko wzniosła się piłka po pierwszym uderzeniu, jeżeli po szóstym odbiła się na wysokość \(32\) cm?

Pan Jan złożył do banku \(2500\) zł na cztery lata na procent składany. Jaką kwotę będzie miał na koncie po tym okresie, jeżeli oprocentowanie w banku wynosi \(10\%\) w skali roku, a odsetki kapitalizuje się: Przy rozwiązaniu należy uwzględnić \(20\%\) podatek od odsetek.