Poziom podstawowy
Trzywyrazowy ciąg \((-1,2, x)\) jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg ( \(-1,2, y\) ) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki
A.\(x>0\) i \(y>0\)
B.\(x>0\) i \(y<0\)
C.\(x<0\) i \(y>0\)
D.\(x<0\) i \(y<0\)
B
Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).
\(x=2\), \(y=9\)
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).
\(x=12\)
Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5; a; b; b+2; 9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).
\(a=2, b=1\) lub \(a=\frac{1}{2}, b=4\)
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Ciąg arytmetyczny: \((13, 9, 5)\), ciąg geometryczny \((16, 12, 9)\).
Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
\(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)
Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, a ciąg \(\left(a,\frac{c}{6},b-4\right)\) jest arytmetyczny. Ponadto \(a+b+c=52\). Wyznacz \(a,b,c\). Znajdź wszystkie rozwiązania.
\(a=4, b=12, c=36\) lub \(a=64,b=-48,c=36\)
Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_3, a_5, a_{13}\) tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\).
\(a_n=3n-7\)
Poziom rozszerzony
Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa \(105\). Liczby \(x, y\) oraz \(z\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Oblicz \(x, y\) oraz z. Zapisz obliczenia.
\(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)
Liczby \(a, b, c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a, b\) i \(c\).
\(a=3\), \(b=15\), \(c=75\)
Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
\(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy \(8\), to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy \(64\), to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
\((4,12,36)\) lub \(\left( \frac{4}{9}, -\frac{20}{9}, \frac{100}{9} \right)\)
Ciąg liczbowy \((a, b, c)\) jest arytmetyczny i \(a + b + c = 33\), natomiast ciąg \((a - 1, b + 5, c + 19)\) jest geometryczny. Oblicz \(a, b, c\).
\(\begin{cases} a=9 \\ b=11 \\ c=13 \end{cases} \) lub \(\begin{cases} a=33 \\ b=11 \\ c=-11 \end{cases} \)
Z czterech liczb trzy początkowe tworzą ciąg geometryczny, a trzy końcowe – ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby, jeśli suma liczb pierwszej i ostatniej równa się \(14\), suma drugiej i trzeciej \(12\).
Wiedząc, że ciąg \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu \((b_n)\) określony jest wzorem \(b_n = 5^{a_n}\), wykaż, że ciąg \((b_n)\) jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od \(n\), iloczyn \(b_1\cdot b_2\cdot b_3\cdot ...\cdot b_n\), przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy \(1\), a jego różnica jest równa \(3\).
\(5^{\frac{3n^2-n}{2}}\)
Liczby \(a, b, c\) są - odpowiednio - pierwszym drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa \(27\). Ciąg \((a-2,b,2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\), spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1 = 675\) i \(a_{22} =\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).
\(129\)
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Ciąg \((a_1\cdot a_2,\ a_2\cdot a_3,\ a_3\cdot a_1, )\) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.
Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
\(q=-2\)
Ciąg \((a, b, c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a, 2b, c + 1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c - b = 6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 9\)