Zadania z ciągu arytmetycznego i geometrycznego
Poziom podstawowy
Zadanie 1.
Trzywyrazowy ciąg \((-1,2, x)\) jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg ( \(-1,2, y\) ) jest geometryczny.
Trzywyrazowy ciąg ( \(-1,2, y\) ) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki A.\(x>0\) i \(y>0\)
B.\(x>0\) i \(y<0\)
C.\(x<0\) i \(y>0\)
D.\(x<0\) i \(y<0\)
Zadanie 2.
Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).
Zadanie 3.
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Zadanie 4.
Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Zadanie 5.
Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5; a; b; b+2; 9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).
Zadanie 6.
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Zadanie 7.
Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Zadanie 8.
Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, a ciąg \(\left(a,\frac{c}{6},b-4\right)\) jest arytmetyczny. Ponadto \(a+b+c=52\). Wyznacz \(a,b,c\). Znajdź wszystkie rozwiązania.
Zadanie 9.
Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_3, a_5, a_{13}\) tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\).
Poziom rozszerzony
Zadanie 10.
Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa \(105\). Liczby \(x, y\) oraz \(z\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Oblicz \(x, y\) oraz z. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11.
Liczby \(a, b, c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a, b\) i \(c\).
Zadanie 12.
Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
Zadanie 13.
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy \(8\), to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy \(64\), to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
Zadanie 14.
Ciąg liczbowy \((a, b, c)\) jest arytmetyczny i \(a + b + c = 33\), natomiast ciąg \((a - 1, b + 5, c + 19)\) jest geometryczny. Oblicz \(a, b, c\).
Zadanie 15.
Z czterech liczb trzy początkowe tworzą ciąg geometryczny, a trzy końcowe – ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby, jeśli suma liczb pierwszej i ostatniej równa się \(14\), suma drugiej i trzeciej \(12\).
Zadanie 16.
Wiedząc, że ciąg \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu \((b_n)\) określony jest wzorem \(b_n = 5^{a_n}\), wykaż, że ciąg \((b_n)\) jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od \(n\), iloczyn \(b_1\cdot b_2\cdot b_3\cdot ...\cdot b_n\), przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy \(1\), a jego różnica jest równa \(3\).
Zadanie 17.
Liczby \(a, b, c\) są - odpowiednio - pierwszym drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa \(27\). Ciąg \((a-2,b,2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Zadanie 18.
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\), spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).
Zadanie 19.
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1 = 675\) i \(a_{22} =\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).
Zadanie 20.
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Ciąg \((a_1\cdot a_2,\ a_2\cdot a_3,\ a_3\cdot a_1, )\) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.
Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 21.
Ciąg \((a, b, c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a, 2b, c + 1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c - b = 6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.