Równania logarytmiczne

Drukuj

Poziom rozszerzony

Równanie logarytmiczne – to równanie w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Do rozwiązywania prostych równań logarytmicznych wykorzystujemy definicję logarytmu, zamieniając równanie: \[\log_ab=c\] na: \[a^c=b\]

Podczas rozwiązywania równań logarytmicznych należy pamiętać o dziedzinie:

podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1,
wyrażenie logarytmowane jest dodatnie.

W tym nagraniu omawiam najważniejsze metody rozwiązywania równań logarytmicznych na następujących przykładach:

\(\log_{\,2}(x-1)=3\)
\(\log_{\,2x-1}25=4\)
\(\log_{\,4x-6}(x^2-x-6)=1\)
\(\log _{\frac{1}{2}}\left[\log _2\left(\log_{\sqrt{2}} x+2\right)\right]=-2\)
\(\log _3(8x+1)+2\log _3x=\log _3(x^2+1)\)
\(\log_{\,\sqrt{7}}x\;\cdot\;\big(\log_{\,\sqrt{7}}x-3\big)=-2\)
\(x^{\log_3(9x)}=27\)

Rozwiąż równania:

\(\log_2(x-3)=5\)
\(\log_{\frac{1}{3}}(3x+1)=-2\)
\(\log_8\left(\frac{3x-1}{2}\right)=\frac{1}{3}\)
\(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2x-1}\right)=-3\)

\(\log_2(x-3)=5\).
Warunki dziedziny (argument dodatni): \[x-3\gt 0\\[6pt] x\gt 3\]

Z definicji logarytmu: \[x-3=2^{5}\\[6pt] x-3=32\\[6pt] \boxed{x=35}\]
Rozwiązanie spełnia warunki dziedziny.
\(\log_{\frac{1}{3}}(3x+1)=-2\).
Warunki dziedziny (argument dodatni): \[3x+1\gt 0\\[6pt] x\gt -\frac{1}{3}\]

Z definicji logarytmu: \[3x+1=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2}\\[6pt] 3x+1=3^{2}\\[6pt] 3x=8\\[6pt] \boxed{x=\frac{8}{3}}\]
Rozwiązanie spełnia warunki dziedziny.
\(\log_8\left(\frac{3x-1}{2}\right)=\frac{1}{3}\).
Warunki dziedziny (argument dodatni): \[\frac{3x-1}{2}\gt 0\\[6pt] 3x-1\gt 0\\[6pt] x\gt \frac{1}{3}\]

Z definicji logarytmu: \[\frac{3x-1}{2}=8^{\frac{1}{3}}\\[6pt] \frac{3x-1}{2}=2\\[6pt] 3x-1=4\\[6pt] 3x=5\\[6pt] \boxed{x=\frac{5}{3}}\]
Rozwiązanie należy do dziedziny.
\(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2x-1}\right)=-3\).
Warunki dziedziny (argument dodatni): \[\frac{1}{2x-1}\gt 0\\[6pt] 2x-1\gt 0\\[6pt] x\gt \frac{1}{2}\]

Z definicji logarytmu: \[\frac{1}{2x-1}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3}\\[6pt] \frac{1}{2x-1}=2^{3}\\[6pt] \frac{1}{2x-1}=8\\[6pt] 1=16x-8\\[6pt] 16x=9\\[6pt] \boxed{x=\frac{9}{16}}\]
Rozwiązanie należy do dziedziny.

Rozwiąż równania:

\(\log_x9=2\)
\(\log_x4=-\frac{1}{2}\)
\(\log_{2x-1}7=1\)

\(\log_x9=2\).
Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od \(1\), zatem \[x\gt 0\quad \land \quad x\ne 1\] Rozwiązujemy z definicji logarytmu: \[x^2=9\\[6pt] x=3\quad \lor \quad x=-3\] Tylko pierwsze rozwiązanie spełnia założenia dziedziny, zatem: \[\boxed{x=3}\]
\(\log_x4=-\frac{1}{2}\).
Warunki: \[x\gt 0\quad \lor \quad x\ne 1\]
Z definicji logarytmu: \[x^{-\frac{1}{2}}=4\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{x}}=4\\[6pt] \sqrt{x}=\frac{1}{4}\\[6pt] \boxed{x=\frac{1}{16}}_{\in D}\]
\(\log_{2x-1}7=1\).
Warunki na podstawę: \[2x-1\gt 0\quad \land \quad 2x-1\ne 1\\[6pt] x\gt \frac{1}{2}\quad \land \quad x\ne 1\]

Z definicji logarytmu: \[(2x-1)^1=7\\[6pt] 2x-1=7\\[6pt] 2x=8\\[6pt] \boxed{x=4}_{\in D}\]

Rozwiąż równania:

\(\log _5 \frac{1}{3x}=2\)
\(\log _{\frac{1}{4}} \frac{3}{2x+1}=-2\)
\(\log _{\frac{1}{5}} \frac{5}{x+1}=-3\)
\(\log _{2} \frac{2}{1-x}=-\frac{1}{2}\)
\(\log _{2}\left(x^2-1\right)=2\)
\(\log _2 \frac{1}{x^2+1}=0\)

\(\log _5 \frac{1}{3x}=2\).
Wyznaczamy dziedzinę (liczba logarytmowana musi być dodatnia): \[\frac{1}{3x}\gt 0\\[6pt] 3x\gt 0\\[6pt] x\gt 0\]

Z definicji logarytmu: \[\frac{1}{3x}=5^{2}\\[6pt] \frac{1}{3x}=25\\[6pt] 3x=\frac{1}{25}\\[6pt] \boxed{x=\frac{1}{75}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\frac{1}{4}} \frac{3}{2x+1}=-2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{3}{2x+1}\gt 0\\[6pt] 2x+1\gt 0\\[6pt] x\gt -\frac{1}{2}\]

Z definicji logarytmu: \[\frac{3}{2x+1}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-2}\\[6pt] \frac{3}{2x+1}=16\\[6pt] 3=16(2x+1)\\[6pt] 32x=-13\\[6pt] \boxed{x=-\frac{13}{32}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\frac{1}{5}} \frac{5}{x+1}=-3\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{5}{x+1}\gt 0\\[6pt] x+1\gt 0\\[6pt] x\gt -1\]

Z definicji logarytmu: \[\frac{5}{x+1}=\left(\tfrac{1}{5}\right)^{-3}\\[6pt] \frac{5}{x+1}=125\\[6pt] 5=125(x+1)\\[6pt] x+1=\frac{1}{25}\\[6pt] \boxed{x=-\frac{24}{25}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{2} \frac{2}{1-x}=-\frac{1}{2}\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{2}{1-x}\gt 0\\[6pt] 1-x\gt 0\\[6pt] x\lt 1\]

Z definicji logarytmu: \[\frac{2}{1-x}=2^{-\frac{1}{2}}\\[6pt] \frac{2}{1-x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] 2=\frac{1-x}{\sqrt{2}}\\[6pt] 2\sqrt{2}=1-x\\[6pt] \boxed{x=1-2\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{2}\left(x^2-1\right)=2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x^2-1\gt 0\\[6pt] (x-1)(x+1)\gt 0\\[6pt] x\gt 1\quad \lor \quad x\lt -1\]

Z definicji logarytmu: \[x^2-1=2^{2}\\[6pt] x^2-1=4\\[6pt] x^2=5\\[6pt] \boxed{x=\sqrt{5}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-\sqrt{5}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _2 \frac{1}{x^2+1}=0\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{1}{x^2+1}\gt 0\\[6pt] x\in\mathbb{R}\]

Z definicji logarytmu: \[\frac{1}{x^2+1}=2^{0}\\[6pt] \frac{1}{x^2+1}=1\\[6pt] x^2+1=1\\[6pt] \boxed{x=0}_{\ \in \text{D}}\]

Rozwiąż równania:

\(\log _{2}\left(x^2+3x+2\right)=0\)
\(\log _4\left(x^2+1\right)=\frac{1}{2}\)
\(\log _{\sqrt{3}}\left(1-3 x^2\right)=4\)
\(\log _{2 \sqrt{2}}\left(5+4 x-x^2\right)=2\)

\(\log _{2}\left(x^2+3x+2\right)=0\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x^2+3x+2\gt 0\\[6pt] (x+1)(x+2)\gt 0\\[6pt] x\lt -2\quad \lor \quad x\gt -1\]

Z definicji logarytmu: \[x^2+3x+2=2^{0}\\[6pt] x^2+3x+2=1\\[6pt] x^2+3x+1=0\]
\[\boxed{x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _4\left(x^2+1\right)=\frac{1}{2}\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\in\mathbb{R}\]

Z definicji logarytmu: \[x^2+1=4^{\frac{1}{2}}\\[6pt] x^2+1=2\\[6pt] x^2=1\]
\[\boxed{x=1}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-1}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\sqrt{3}}\left(1-3 x^2\right)=4\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[1-3x^2\gt 0\\[6pt] 3x^2\lt 1\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{3}}\lt x \lt \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Z definicji logarytmu: \[1-3x^2=(\sqrt{3})^{4}\\[6pt] 1-3x^2=9\\[6pt] -3x^2=8\\[6pt] x^2=-\frac{8}{3}\]
\[\boxed{\text{brak rozwiązań w }\mathbb{R}}\]
\(\log _{2 \sqrt{2}}\left(5+4 x-x^2\right)=2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[5+4x-x^2\gt 0\\[6pt] -x^2+4x+5\gt 0\\[6pt] x^2-4x-5\lt 0\\[6pt] (x+1)(x-5)\lt 0\\[6pt] -1\lt x\lt 5\]

Z definicji logarytmu: \[5+4x-x^2=(2\sqrt{2})^{2}\\[6pt] 5+4x-x^2=8\\[6pt] -x^2+4x-3=0\\[6pt] x^2-4x+3=0\]
\[\boxed{x=1}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=3}_{\ \in \text{D}}\]

\(\log _8(|x-3|+1)=\frac{1}{3}\)
\(\log _{\frac{3}{7}}|x|=-2\)
\(\log _{16}(|x+3|-2)=0{,}25\)
\(\log _{\sqrt{5}}(2-|1-3x|)=2\)

\(\log _8(|x-3|+1)=\frac{1}{3}\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[|x-3|+1\gt 0\\[6pt] x\in\mathbb{R}\]

Z definicji logarytmu: \[|x-3|+1=8^{\frac{1}{3}}\\[6pt] |x-3|+1=2\\[6pt] |x-3|=1\\[6pt] x-3=1\quad \lor \quad x-3=-1\\[6pt] \boxed{x=2}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=4}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\frac{3}{7}}|x|=-2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[|x|\gt 0\\[6pt] x\ne 0\]

Z definicji logarytmu: \[|x|=\left(\tfrac{3}{7}\right)^{-2}\\[6pt] |x|=\left(\tfrac{7}{3}\right)^{2}\\[6pt] |x|=\frac{49}{9}\\[6pt] \boxed{x=\frac{49}{9}}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=-\frac{49}{9}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{16}(|x+3|-2)=0{,}25\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[|x+3|-2\gt 0\\[6pt] |x+3|\gt 2\\[6pt] x\gt -1\quad \lor \quad x\lt -5\]

Z definicji logarytmu: \[|x+3|-2=16^{0{,}25}\\[6pt] |x+3|-2=2\\[6pt] |x+3|=4\\[6pt] \boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=-7}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\sqrt{5}}(2-|1-3x|)=2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[2-|1-3x|\gt 0\\[6pt] |1-3x|\lt 2\\[6pt] -2\lt 1-3x\lt 2\\[6pt] -3\lt -3x\lt 1\\[6pt] -\frac{1}{3}\lt x\lt 1\]

Z definicji logarytmu: \[2-|1-3x|=(\sqrt{5})^{2}\\[6pt] 2-|1-3x|=5\\[6pt] -|1-3x|=3\\[6pt] |1-3x|=-3\]

Sprzeczność, bo \(|1-3x|\ge 0\) dla \(x\in\mathbb{R}\).
Zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\]

Rozwiąż równania:

\(\log _x 125=3\)
\(\log _x 16=-2\)
\(\log _{2x} 27=-3\)
\(\log _{\frac{x}{3}} 2=-1\)
\(\log _{x^2} 9=1\)
\(\log_{x-1}4=2\)

\(\log _x 125=3\).
Wyznaczamy dziedzinę (podstawa dodatnia i różna od \(1\)): \[x\gt 0\quad \land \quad x\ne 1\]

Z definicji logarytmu: \[x^{3}=125\\[6pt] \boxed{x=5}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _x 16=-2\).
Wyznaczamy dziedzinę (podstawa dodatnia i różna od \(1\)): \[x\gt 0\quad \land \quad x\ne 1\]

Z definicji logarytmu: \[x^{-2}=16\\[6pt] \frac{1}{x^{2}}=16\\[6pt] x^{2}=\frac{1}{16}\\[6pt] \boxed{x=\frac{1}{4}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad x=-\frac{1}{4}_{\ \notin \text{D}}\]
\(\log _{2x} 27=-3\).
Wyznaczamy dziedzinę (podstawa dodatnia i różna od \(1\)): \[2x\gt 0\quad \land \quad 2x\ne 1\\[6pt] x\gt 0\quad \land \quad x\ne \tfrac{1}{2}\]

Z definicji logarytmu: \[(2x)^{-3}=27\\[6pt] (2x)^3=\frac{1}{27}\\[6pt] x^{3}=\frac{1}{216}\\[6pt] \boxed{x=\frac{1}{6}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\frac{x}{3}} 2=-1\).
Wyznaczamy dziedzinę (podstawa dodatnia i różna od \(1\)): \[\frac{x}{3}\gt 0\quad \land \quad \frac{x}{3}\ne 1\\[6pt] x\gt 0\quad \land \quad x\ne 3\]

Z definicji logarytmu: \[\left(\tfrac{x}{3}\right)^{-1}=2\\[6pt] \frac{3}{x}=2\\[6pt] \boxed{x=\frac{3}{2}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{x^2} 9=1\).
Wyznaczamy dziedzinę (podstawa dodatnia i różna od \(1\)): \[x^2\gt 0\quad \land \quad x^2\ne 1\\[6pt] x\ne 0\quad \land \quad x\ne 1\quad \land \quad x\ne -1\]

Z definicji logarytmu: \[(x^2)^{1}=9\\[6pt] x^{2}=9\\[6pt] \boxed{x=3}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-3}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log_{x-1}4=2\).
Wyznaczamy dziedzinę (podstawa dodatnia i różna od \(1\)): \[x-1\gt 0\quad \land \quad x-1\ne 1\\[6pt] x\gt 1\quad \land \quad x\ne 2\]

Z definicji logarytmu: \[(x-1)^2=4\\[6pt] x-1=2\quad \lor \quad x-1=-2\\[6pt] \boxed{x=3}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad x=-1_{\ \notin \text{D}}\]

\(\log_x(2x-15)=2\)
\(\log_{3x-1}(2x-1)=0\)
\(\log _{2x+1} \frac{1}{3x}=-1\)
\(\log _{x-2}\left(x^2-4x+4\right)=1\)
\(\log _{x^2+1}\left(x^2+7\right)=2\)
\(\log _{2x^2-1}\left(6x^2-3\right)=2\)

\(\log_x(2x-15)=2\).
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} x\gt 0 \quad \land &\quad x\ne 1 \quad \land &\quad 2x-15\gt 0\\[6pt] & &\quad x\gt \frac{15}{2} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt \frac{15}{2}\]

Z definicji logarytmu mamy: \[x^{2}=2x-15\\[6pt] x^{2}-2x+15=0\\[6pt] \Delta=4-60=-56\]
Zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\]
\(\log_{3x-1}(2x-1)=0\).
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} 3x-1\gt 0 \quad &\land \quad 3x-1\ne 1 \quad &\land \quad 2x-1\gt 0\\[6pt] x\gt \tfrac{1}{3} \quad &\land \quad x\ne \tfrac{2}{3} \quad &\land \quad x\gt \tfrac{1}{2} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt \tfrac{1}{2}\quad \land \quad x\ne \tfrac{2}{3}\]

Z definicji logarytmu: \[2x-1=1\\[6pt] 2x=2\\[6pt] \boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{2x+1} \frac{1}{3x}=-1\).
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} 2x+1\gt 0 \quad &\land \quad 2x+1\ne 1 \quad &\land \quad \frac{1}{3x}\gt 0\\[6pt] x\gt -\tfrac{1}{2} \quad &\land \quad x\ne 0 \quad &\land \quad x\gt 0 \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt 0\]

Z definicji logarytmu: \[(2x+1)^{-1}=\frac{1}{3x}\\[6pt] \frac{1}{2x+1}=\frac{1}{3x}\\[6pt] 3x=2x+1\\[6pt] \boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{x-2}\left(x^2-4x+4\right)=1\).
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} x-2\gt 0 \quad &\land \quad x-2\ne 1 \quad &\land \quad (x-2)^2\gt 0\\[6pt] x\gt 2 \quad &\land \quad x\ne 3 \quad &\land \quad x\ne 2 \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt 2\quad \land \quad x\ne 3\]

Z definicji logarytmu: \[(x-2)^2=(x-2)^1\\[6pt] (x-2)^2-(x-2)=0\\[6pt] (x-2)\big((x-2)-1\big)=0\\[6pt] x=2\quad \lor \quad x=3\]
Oba otrzymane wyniki nie należą do dziedziny, zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\]
\(\log _{x^2+1}\left(x^2+7\right)=2\).
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} x^2+1\gt 0 \quad &\land \quad x^2+1\ne 1 \quad &\land \quad x^2+7\gt 0\\[6pt] x\in \mathbb{R} \quad &\land \quad x\ne 0 \quad &\land \quad x\in \mathbb{R} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\]

Z definicji logarytmu: \[(x^2+1)^2=x^2+7\\[6pt] x^4+2x^2+1=x^2+7\\[6pt] x^4+x^2-6=0\\[6pt] (x^2+3)(x^2-2)=0\\[6pt] x^2=2\\[6pt] \boxed{x=\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{2x^2-1}\left(6x^2-3\right)=2\).
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} 2x^2-1\gt 0 \quad &\land \quad 2x^2-1\ne 1 \quad &\land \quad 6x^2-3\gt 0\\[6pt] x^2\gt \tfrac{1}{2} \quad &\land \quad x^2\ne 1 \quad &\land \quad x^2\gt \tfrac{1}{2} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x^2\gt \tfrac{1}{2}\quad \land \quad x^2\ne 1\]

Z definicji logarytmu: \[(2x^2-1)^2=6x^2-3\\[6pt] (2x^2-1)^2-3(2x^2-1)=0\\[6pt] (2x^2-1)\big((2x^2-1)-3\big)=0\\[6pt] 2x^2-1=0\ \lor\ 2x^2-4=0\\[6pt] x^2=\tfrac{1}{2}\ \lor\ x^2=2\\[6pt] x^2=\tfrac{1}{2}\ \text{(poza dziedziną)}\quad \lor \quad x^2=2\]
Zatem: \[\boxed{x=\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}}\]

Rozwiąż równania:

\(\log _2\left(\log _3 x\right)=0\)
\(\log _{\sqrt{3}}\left[3+2\log _4x\right]=4\)
\(\log _{3}\left[3+2\log _4\left(\log _2 x+32\right)\right]=2\)
\(\log _{\sqrt{\frac{1}{2}}}\left[\log _2\left(\log_2 x+2\right)\right]=-2\)

W tym zadaniu wyznaczanie dziedziny byłoby skomplikowane (trzeba byłoby rozwiązywać nierówności logarytmiczne), więc możesz zastosować metodę starożytnych i na końcu sprawdzić czy rozwiązanie spełnia warunki.

\(\log _2\left(\log _3 x\right)=0\).
Rozwiązanie: \[\log_3 x=2^0\\[6pt] \log_3 x=1\\[6pt] x=3^1\\[6pt] x=3\]

Sprawdzenie warunków: \(x\gt 0\) oraz \(\log_3 3=1\gt 0\) (liczba logarytmowana dodatnia), więc \[\boxed{x=3}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\sqrt{3}}\!\left(3+2\log _4x\right)=4\).
Rozwiązanie: \[3+2\log_4 x=(\sqrt{3})^4\\[6pt] 3+2\log_4 x=9\\[6pt] 2\log_4 x=6\\[6pt] \log_4 x=3\\[6pt] x=4^3\\[6pt] x=64\]

Sprawdzenie warunków: \(x=64\gt 0\) oraz \(3+2\log_4 64=9\gt 0\). Zatem \[\boxed{x=64}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{3}\!\left(3+2\log _4\!\left(\log _2 x+32\right)\right)=2\).
Rozwiązanie: \[3+2\log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=3^{2}\\[6pt] 3+2\log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=9\\[6pt] 2\log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=6\\[6pt] \log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=3\\[6pt] \log_2 x+32=4^{3}\\[6pt] \log_2 x+32=64\\[6pt] \log_2 x=32\\[6pt] x=2^{32}\]

Sprawdzenie warunków: \(x=2^{32}\gt 0\), \(\log_2 x+32=64\gt 0\), a cały argument zewnętrznego logarytmu równy \(9\gt 0\). Zatem \[\boxed{x=2^{32}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\sqrt{\frac{1}{2}}}\!\left[\log _2\!\left(\log_2 x+2\right)\right]=-2\).
Rozwiązanie: \[\log_2\!\left(\log_2 x+2\right)=\left(\sqrt{\tfrac{1}{2}}\right)^{-2}\\[6pt] \log_2\!\left(\log_2 x+2\right)=(\sqrt{2})^{2}\\[6pt] \log_2\!\left(\log_2 x+2\right)=2\\[6pt] \log_2 x+2=2^{2}\\[6pt] \log_2 x+2=4\\[6pt] \log_2 x=2\\[6pt] x=4\]

Sprawdzenie warunków: \[ x=4\gt 0,\quad \log_2 4+2=2+2=4\gt 0,\quad \log_2(\,\log_2 4+2\,)=\log_2 4=2\gt 0. \] Zatem: \[\boxed{x=4}_{\ \in \text{D}}\]

\(\log _2\!\left(\log _5(x-1)\right)=1\)
\(\log _x\!\left(\log _2 x+1\right)=0\)
\(\log _4\!\left(\log _2(x+1)+1\right)=\tfrac{1}{2}\)
\(\log _2\!\left(\log _2(x^2-4x+5)\right)=1\)
\(\log _{\sqrt{3}}\!\left(1+\log _9(\log _3 x)\right)=0\)
\(\log _{\tfrac{1}{2}}\!\left(\log _2(\log _2 x+1)\right)=-1\)

W tym zadaniu rónież wyznaczanie dziedziny byłoby skomplikowane (trzeba byłoby rozwiązywać nierówności logarytmiczne), więc zastosujemy metodę starożytnych i na końcu sprawdzimy czy rozwiązanie spełnia warunki.

\(\log _2\!\left(\log _5(x-1)\right)=1\).
Rozwiązanie: \[\log_5(x-1)=2^{1}\\[6pt] \log_5(x-1)=2\\[6pt] x-1=5^{2}=25\\[6pt] x=26\]

Sprawdzenie warunków: \[ x=26\gt 1\ \Rightarrow\ \log_5(26-1)=\log_5 25=2\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=26}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _x\!\left(\log _2 x+1\right)=0\).
Rozwiązanie: \[\log_2 x+1=x^{0}=1\\[6pt] \log_2 x=0\\[6pt] x=1\]

Sprawdzenie warunków: \[ \text{dla podstawy: } x\gt 0\ \land\ x\ne 1;\ \ \ x=1\ \notin \text{D}. \]
Zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\]
\(\log _4\!\left(\log _2(x+1)+1\right)=\tfrac{1}{2}\).
Rozwiązanie: \[\log_2(x+1)+1=4^{\tfrac{1}{2}}\\[6pt] \log_2(x+1)+1=2\\[6pt] \log_2(x+1)=1\\[6pt] x+1=2\\[6pt] x=1\]

Sprawdzenie warunków: \[ x=1\gt -1\ \Rightarrow\ \log_2(1+1)+1=\log_2 2+1=2\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _2\!\left(\log _2(x^2-4x+5)\right)=1\).
Rozwiązanie: \[\log_2(x^2-4x+5)=2\\[6pt] x^2-4x+5=2^{2}=4\\[6pt] x^2-4x+1=0\\[6pt] x=2-\sqrt{3}\quad \lor \quad x=2+\sqrt{3}\]

Sprawdzenie warunków: \[ \begin{aligned} &x=2\pm\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x^2-4x+5=4\ \Rightarrow\ \log_2(4)=2\gt 0. \end{aligned} \]
Zatem: \[\boxed{x=2-\sqrt{3}}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=2+\sqrt{3}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\sqrt{3}}\!\left(1+\log _9(\log _3 x)\right)=0\).
Rozwiązanie: \[1+\log_9(\log_3 x)=(\sqrt{3})^{0}=1\\[6pt] \log_9(\log_3 x)=0\\[6pt] \log_3 x=9^{0}=1\\[6pt] x=3\]

Sprawdzenie warunków: \[ \log_3 3=1\gt 0,\quad 1+\log_9(1)=1\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=3}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log _{\tfrac{1}{2}}\!\left(\log _2(\log _2 x+1)\right)=-1\).
Rozwiązanie: \[\log_2(\log_2 x+1)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2\\[6pt] \log_2 x+1=2^{2}=4\\[6pt] \log_2 x=3\\[6pt] x=8\]

Sprawdzenie warunków: \[ x=8\gt 0,\quad \log_2 8+1=3+1=4\gt 0,\quad \log_2(4)=2\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=8}_{\ \in \text{D}}\]

\(\log_{\,\tfrac14}x\;\cdot\;\big(3\log_{\,\tfrac14}x-5\big)=6\)
\(5\big(\log_{16}(x-3)\big)^2-2=0\)
\(\dfrac{3\log_{\sqrt{5}}x-6}{\log_{\sqrt{5}}x}=\log_{4}16\)
\(3\big(\log_{7}(x+2)\big)^3=\log_{7}(x+2)+2\)
\(\log_{\,\tfrac13}x\;\cdot\;\big(\log_{\,\tfrac13}x-4\big)=-3\)
\(\log_{\,x^{2}-4}\!\left(x^{2}\right)=2\)

W tym zadaniu zastosujemy metodę podstawiania nowej zmiennej pod wyrażenie z logarytmem, aby uprościć rachunki. Takie podstawienie nie jest konieczne, ale czasami upraszcza zapis.

\(\log_{\,\tfrac14}x\;\cdot\;\big(3\log_{\,\tfrac14}x-5\big)=6\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]

Niech \(t=\log_{\,\tfrac14}x\). Wtedy: \[t(3t-5)=6\\[6pt] 3t^2-5t-6=0\\[6pt] t=\frac{5\pm\sqrt{97}}{6}\] Powrót do \(x\): \[x=\left(\tfrac14\right)^{t}\\[6pt] x=4^{-\frac{5+\sqrt{97}}{6}}\quad \lor \quad x=4^{-\frac{5-\sqrt{97}}{6}}\]
Sprawdzenie warunków: obie wartości są \(\gt 0\). Zatem: \[\boxed{x=4^{-\frac{5+\sqrt{97}}{6}}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=4^{-\frac{5-\sqrt{97}}{6}}}_{\ \in \text{D}}\]
\(5\big(\log_{16}(x-3)\big)^2-2=0\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x-3\gt 0\\[6pt] x\gt 3\]

Niech \(t=\log_{16}(x-3)\). Wtedy: \[5t^2-2=0\\[6pt] t=\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}\] Powrót do \(x\): \[x-3=16^{\,t}\\[6pt] x=3+16^{\,\sqrt{\tfrac{2}{5}}}\quad \lor \quad x=3+16^{-\sqrt{\tfrac{2}{5}}}\]
Sprawdzenie warunków: obie wartości spełniają \(x\gt 3\). Zatem: \[\boxed{x=3+16^{\,\sqrt{\tfrac{2}{5}}}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=3+16^{-\sqrt{\tfrac{2}{5}}}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\dfrac{3\log_{\sqrt{5}}x-6}{\log_{\sqrt{5}}x}=\log_{4}16\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\log_{\sqrt{5}}x\ne 0\\[6pt] x\gt 0\]

Ponieważ \(\log_{4}16=2\), niech \(t=\log_{\sqrt{5}}x\). Mamy: \[\frac{3t-6}{t}=2\\[6pt] 3-\frac{6}{t}=2\\[6pt] \frac{6}{t}=1\\[6pt] t=6\] Powrót do \(x\): \[x=(\sqrt{5})^{6}=5^{3}=125\]
Sprawdzenie warunków: \(x=125\gt 0\) i \(\log_{\sqrt{5}}125=6\ne 0\). Zatem: \[\boxed{x=125}_{\ \in \text{D}}\]
\(3\big(\log_{7}(x+2)\big)^3=\log_{7}(x+2)+2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x+2\gt 0\\[6pt] x\gt -2\]

Niech \(t=\log_{7}(x+2)\). Wtedy: \[3t^{3}-t-2=0\\[6pt] (t-1)(3t^{2}+3t+2)=0\\[6pt] t=1\] Powrót do \(x\): \[x+2=7^{1}\\[6pt] x=5\]
Sprawdzenie warunków: \(5\gt -2\). Zatem: \[\boxed{x=5}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log_{\,\tfrac13}x\;\cdot\;\big(\log_{\,\tfrac13}x-4\big)=-3\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]

Niech \(t=\log_{\,\tfrac13}x\). Wtedy: \[t(t-4)=-3\\[6pt] t^{2}-4t+3=0\\[6pt] t=1\quad \lor \quad t=3\] Powrót do \(x\): \[x=\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac{1}{3}\quad \lor \quad x=\left(\tfrac13\right)^{3}=\tfrac{1}{27}\]
Sprawdzenie warunków: obie wartości są \(\gt 0\). Zatem: \[\boxed{x=\tfrac{1}{3}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=\tfrac{1}{27}}_{\ \in \text{D}}\]
\(\log_{\,x^{2}-4}\!\left(x^{2}\right)=2\).
Założenia dla podstawy i argumentu: \[ \begin{split} &x^{2}-4\gt 0\ &\land\ &\ x^{2}-4\ne 1\ &\land\ &\ x^{2}\gt 0\\[6pt] &|x|\gt 2\ &\land\ &\ x^{2}\ne 5\ &\land\ &\ x\in\mathbb{R} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[|x|\gt 2\quad \land \quad x^{2}\ne 5\]

Z definicji logarytmu: \[(x^{2}-4)^{2}=x^{2}\\[6pt] x^{4}-8x^{2}+16=x^{2}\\[6pt] x^{4}-9x^{2}+16=0\\[6pt] t:=x^{2}\\[6pt] t^{2}-9t+16=0\\[6pt] t=1\quad \lor \quad t=16\\[6pt] x=\pm 1\quad \lor \quad x=\pm 4\]
Sprawdzenie warunków: \(\pm 1\) nie spełniają \(|x|\gt 2\); \(\pm 4\) spełniają oraz \(x^{2}\ne 5\). Zatem: \[\boxed{x=4}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-4}_{\ \in \text{D}}\]

\(\log _3(x+4)=\log _3(3x-2)\)
\(\log _{\frac{1}{5}}(x-2)+\log _{\frac{1}{5}}(x+1)=-1\)
\(\log _{\frac{1}{2}}(x+3)-\log _{\frac{1}{2}}(2-x)=2\)
\(\log _2 x+\log _2(x+4)=\log _2(16x)\)
\(\log _3(2x+1)-\log _3(1-x)=\log _3(2x)\)
\(\log(x+3)=\log(7x-2)-\log(2x-1)\)

\(\log _3(x+4)=\log _3(3x-2)\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x+4\gt 0\ &\land\ 3x-2\gt 0\\[6pt] x\gt -4\ &\land\ x\gt \tfrac{2}{3} \end{split} \] Zatem: \[ x\gt \tfrac{2}{3} \]

Podstawy logarytmów są równe, więc porównujemy liczby logarytmowane: \[ x+4=3x-2\\[6pt] 2x=6\\[6pt] \boxed{x=3}_{\ \in \text{D}} \]
\(\log _{\frac{1}{5}}(x-2)+\log _{\frac{1}{5}}(x+1)=-1\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x-2\gt 0\ &\land\ x+1\gt 0\\[6pt] x\gt 2\ &\land\ x\gt -1 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt 2 \]

Dodajemy logarytmy o tej samej podstawie: \[ \log_{\tfrac{1}{5}}\!\big((x-2)(x+1)\big)=-1\\[6pt] (x-2)(x+1)=5\\[6pt] x^2-x-2=5\\[6pt] x^2-x-7=0\\[6pt] \boxed{x=\tfrac{1+\sqrt{29}}{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \tfrac{1-\sqrt{29}}{2}_{\ \notin \text{D}} \]
\(\log _{\frac{1}{2}}(x+3)-\log _{\frac{1}{2}}(2-x)=2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x+3\gt 0\ &\land\ 2-x\gt 0\\[6pt] x\gt -3\ &\land\ x\lt 2 \end{split} \] Zatem: \[ -3\lt x\lt 2 \]

Odejmujemy logarytmy: \[ \log_{\tfrac{1}{2}}\!\left(\frac{x+3}{\,2-x\,}\right)=2\\[6pt] \frac{x+3}{\,2-x\,}=\tfrac{1}{4}\\[6pt] 4(x+3)=2-x\\[6pt] 4x+12=2-x\\[6pt] 5x=-10\\[6pt] \boxed{x=-2}_{\ \in \text{D}} \]
\(\log _2 x+\log _2(x+4)=\log _2(16x)\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x\gt 0\ &\land\ x+4\gt 0\\[6pt] x\gt 0\ &\land\ x\gt -4 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt 0 \]

Dodajemy logarytmy po lewej stronie: \[ \log_2\big(x(x+4)\big)=\log_2(16x)\\[6pt] x(x+4)=16x\\[6pt] x^2+4x=16x\\[6pt] x^2-12x=0\\[6pt] \boxed{x=12}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad 0_{\ \notin \text{D}} \]
\(\log _3(2x+1)-\log _3(1-x)=\log _3(2x)\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} 2x+1\gt 0\ &\land\ 1-x\gt 0\ &\land\ 2x\gt 0\\[6pt] x\gt -\tfrac{1}{2}\ &\land\ x\lt 1\ &\land\ x\gt 0 \end{split} \] Zatem: \[ 0\lt x\lt 1 \]

Odejmujemy logarytmy (ta sama podstawa): \[ \log_3\!\left(\frac{2x+1}{\,1-x\,}\right)=\log_3(2x)\\[6pt] \frac{2x+1}{\,1-x\,}=2x\\[6pt] 2x+1=2x-2x^2\\[6pt] 1=-2x^2\\[6pt] \boxed{\text{brak rozwiązań}} \]
\(\log(x+3)=\log(7x-2)-\log(2x-1)\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x+3\gt 0\ &\land\ 7x-2\gt 0\ &\land\ 2x-1\gt 0\\[6pt] x\gt -3\ &\land\ x\gt \tfrac{2}{7}\ &\land\ x\gt \tfrac{1}{2} \end{split} \] Zatem: \[ x\gt \tfrac{1}{2} \]

Odejmujemy logarytmy po prawej stronie: \[ \log(x+3)=\log\!\left(\frac{7x-2}{\,2x-1\,}\right)\\[6pt] x+3=\frac{7x-2}{\,2x-1\,}\\[6pt] (x+3)(2x-1)=7x-2\\[6pt] 2x^2+5x-3=7x-2\\[6pt] 2x^2-2x-1=0\\[6pt] \boxed{x=\tfrac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \tfrac{1-\sqrt{3}}{2}_{\ \notin \text{D}} \]

\(\log_5^3 x-3\log_5^2 x=\log_5 x-3\)
\(\ln^3 x+\ln^2 x-2\ln x=0\)
\(\log_2^4(x-1)+2\log_2^2(x-1)=3\)
\(\dfrac{1}{4-\log x}+\dfrac{2}{2+\log x}=1\)
\(\ln^2 x+\dfrac{3}{\ln^2 x}=4\)
\(\dfrac{1+\log (x-2)}{1-\log ^2(x-2)}+\dfrac{2}{1-\log (x-2)}=1\)

\(\log_5^3 x-3\log_5^2 x=\log_5 x-3\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]

Podstawiamy \(t=\log_5 x\): \[t^3-3t^2=t-3\\[6pt] t^3-3t^2-t+3=0\\[6pt] (t-1)(t+1)(t-3)=0\\[6pt] t=1 \quad \lor \quad t=-1 \quad \lor \quad t=3\]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &t=1\\ &\log_5 x=1\\[6pt] &\boxed{x=5}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &t=-1\\ &\log_5 x=-1\\[6pt] &\boxed{x=\tfrac{1}{5}}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &t=3\\ &\log_5 x=3\\[6pt] &\boxed{x=125}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\(\ln^3 x+\ln^2 x-2\ln x=0\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]

Podstawiamy \(t=\ln x\): \[t^3+t^2-2t=0\\[6pt] t(t^2+t-2)=0\\[6pt] t=0 \quad \lor \quad t=-2 \quad \lor \quad t=1\]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &t=0\\ &\ln x=0\\[6pt] &\boxed{x=1}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &t=-2\\ &\ln x=-2\\[6pt] &\boxed{x=e^{-2}}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &t=1\\ &\ln x=1\\[6pt] &\boxed{x=e}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\(\log_2^4(x-1)+2\log_2^2(x-1)=3\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x-1\gt 0\\[6pt] x\gt 1\]

Podstawiamy \(t=\log_2(x-1)\): \[t^4+2t^2=3\\[6pt] u:=t^2\\[6pt] u^2+2u-3=0\\[6pt] u=1 \quad \lor \quad u=-3\] Z \(u=1\) mamy \(t=1 \quad \lor \quad t=-1\).

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &t=1\\ &\log_2(x-1)=1\\[6pt] &x-1=2\\[6pt] &\boxed{x=3}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &t=-1\\ &\log_2(x-1)=-1\\[6pt] &x-1=\tfrac{1}{2}\\[6pt] &\boxed{x=\tfrac{3}{2}}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\(\dfrac{1}{4-\log x}+\dfrac{2}{2+\log x}=1\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0 \quad \land \quad \log x\ne 4 \quad \land \quad \log x\ne -2\]

Podstawiamy \(t=\log x\): \[\frac{1}{4-t}+\frac{2}{2+t}=1\\[6pt] \frac{10-t}{\,8+2t-t^2\,}=1\\[6pt] t^2-3t+2=0\\[6pt] t=1 \quad \lor \quad t=2\]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &t=1\\ &\log x=1\\[6pt] &\boxed{x=10}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &t=2\\ &\log x=2\\[6pt] &\boxed{x=100}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\(\ln^2 x+\dfrac{3}{\ln^2 x}=4\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0 \quad \land \quad x\ne 1\]

Podstawiamy \(t=\ln^2 x\): \[t+\frac{3}{t}=4\\[6pt] t^2-4t+3=0\\[6pt] t=1 \quad \lor \quad t=3\]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &t=1\\ &\ln^2 x=1\\[6pt] &\ln x=1 \quad \lor \quad \ln x=-1\\[6pt] &\boxed{x=e}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=e^{-1}}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &t=3\\ &\ln^2 x=3\\[6pt] &\ln x=\sqrt{3} \quad \lor \quad \ln x=-\sqrt{3}\\[6pt] &\boxed{x=e^{\sqrt{3}}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=e^{-\sqrt{3}}}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\(\dfrac{1+\log (x-2)}{1-\log ^2(x-2)}+\dfrac{2}{1-\log (x-2)}=1\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x-2\gt 0 \quad \land \quad \log(x-2)\ne \pm 1\]

Podstawiamy \(t=\log(x-2)\): \[\frac{1+t}{1-t^2}+\frac{2}{1-t}=1\\[6pt] \frac{1}{1-t}+\frac{2}{1-t}=1\\[6pt] \frac{3}{1-t}=1\\[6pt] t=-2\]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &t=-2\\ &\log(x-2)=-2\\[6pt] &x-2=10^{-2}\\[6pt] &\boxed{x=2{,}01}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]

\(2\log_3(x-1)-\log_3 9=\log_3(2x-10)\)
\(\log \sqrt{5x-4}+\log \sqrt{x+1}=2+\log 0{,}18\)
\(\tfrac{1}{2}\log (x-5)+\log \sqrt{2x-3}+1=\log 30\)
\(\log _4 \sqrt{x}+\tfrac{1}{2}\log _4(x+4)=1{,}25\)
\(\dfrac{\log (8-x^3)}{\log (2-x)}=3\)
\(\dfrac{\ln (3x-10)-\ln (5x-12)}{\ln x}=-1\)

\(2\log_3(x-1)-\log_3 9=\log_3(2x-10)\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x-1\gt 0\ &\land\ 2x-10\gt 0\\[6pt] x\gt 1\ &\land\ x\gt 5 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt 5 \]

Podnosimy do potęgi i odejmujemy logarytmy: \[ \log_3\!\big((x-1)^2\big)-\log_3 9=\log_3(2x-10)\\[6pt] \log_3\!\left(\frac{(x-1)^2}{9}\right)=\log_3(2x-10)\\[6pt] \frac{(x-1)^2}{9}=2x-10\\[6pt] x^2-2x+1=18x-90\\[6pt] x^2-20x+91=0\\[6pt] \Delta=20^2-4\cdot 1\cdot 91=400-364=36 \] Zatem: \[ \boxed{x=7}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=13}_{\ \in \text{D}} \]
\(\log \sqrt{5x-4}+\log \sqrt{x+1}=2+\log 0{,}18\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} 5x-4\gt 0\ &\land\ x+1\gt 0\\[6pt] x\gt \tfrac{4}{5}\ &\land\ x\gt -1 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt \tfrac{4}{5} \]

Zamieniamy pierwiastki na potęgi i dodajemy logarytmy: \[ \tfrac{1}{2}\log(5x-4)+\tfrac{1}{2}\log(x+1)=2+\log 0{,}18\\[6pt] \tfrac{1}{2}\log\!\big((5x-4)(x+1)\big)=\log 18\\[6pt] \log\!\big((5x-4)(x+1)\big)=\log 324\\[6pt] (5x-4)(x+1)=324\\[6pt] 5x^{2}+x-328=0\\[6pt] \Delta=1^2-4\cdot 5\cdot(-328)=1+6560=6561 \] Zatem: \[ \boxed{x=8}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad x=-\tfrac{41}{5}_{\ \notin \text{D}} \]
\(\tfrac{1}{2}\log (x-5)+\log \sqrt{2x-3}+1=\log 30\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x-5\gt 0\ &\land\ 2x-3\gt 0\\[6pt] x\gt 5\ &\land\ x\gt \tfrac{3}{2} \end{split} \] Zatem: \[ x\gt 5 \]

Zamieniamy pierwiastek na potęgę, dodajemy logarytmy i przenosimy \(1=\log 10\): \[ \tfrac{1}{2}\log(x-5)+\tfrac{1}{2}\log(2x-3)=\log 30-\log 10\\[6pt] \tfrac{1}{2}\log\!\big((x-5)(2x-3)\big)=\log 3\\[6pt] \log\!\big((x-5)(2x-3)\big)=\log 9\\[6pt] (x-5)(2x-3)=9\\[6pt] 2x^{2}-13x+6=0\\[6pt] \Delta=(-13)^2-4\cdot 2\cdot 6=169-48=121 \] Zatem: \[ \boxed{x=6}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad x=\tfrac{1}{2}_{\ \notin \text{D}} \]
\(\log _4 \sqrt{x}+\tfrac{1}{2}\log _4(x+4)=1{,}25\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x\gt 0\ &\land\ x+4\gt 0 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt 0 \]

Zamieniamy pierwiastek na potęgę i dodajemy logarytmy: \[ \tfrac{1}{2}\log_4 x+\tfrac{1}{2}\log_4(x+4)=\tfrac{5}{4}\\[6pt] \log_4\!\big(x(x+4)\big)=\tfrac{5}{2}\\[6pt] x(x+4)=4^{5/2}\\[6pt] x^{2}+4x-32=0\\[6pt] \Delta=4^2-4\cdot 1\cdot(-32)=16+128=144 \] Zatem: \[ \boxed{x=4}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad x=-8_{\ \notin \text{D}} \]
\(\dfrac{\log (8-x^3)}{\log (2-x)}=3\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} 8-x^{3}\gt 0\ &\land\ 2-x\gt 0\ &\land\ \log(2-x)\ne 0\\[6pt] x\lt 2\ &\land\ x\lt 2\ &\land\ x\ne 1 \end{split} \] Zatem: \[ x\lt 2\quad \land\quad x\ne 1 \]

Stosujemy wzór na zamianę podstaw logarytmów: \[ \log_{\,2-x}(8-x^3)=3\\[6pt] (2-x)^3=8-x^3\\[6pt] 8-12x+6x^2-x^3=8-x^3\\[6pt] 6x^2-12x=0\\[6pt] x(x-2)=0 \] Zatem: \[ \boxed{x=0}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad x=2_{\ \notin \text{D}} \]
\(\dfrac{\ln (3x-10)-\ln (5x-12)}{\ln x}=-1\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} 3x-10\gt 0\ &\land\ 5x-12\gt 0\ &\land\ x\gt 0\ &\land\ \ln x\ne 0\\[6pt] x\gt \tfrac{10}{3}\ &\land\ x\gt \tfrac{12}{5}\ &\land\ x\gt 0\ &\land\ x\ne 1 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt \tfrac{10}{3} \]

Odejmujemy logarytmy i porównujemy liczby logarytmowane: \[ \ln\!\left(\frac{3x-10}{5x-12}\right)=-\ln x\\[6pt] \frac{3x-10}{5x-12}=\frac{1}{x}\\[6pt] x(3x-10)=5x-12\\[6pt] 3x^{2}-15x+12=0\\[6pt] \Delta=(-15)^2-4\cdot 3\cdot 12=225-144=81 \] Zatem: \[ x=1 \quad \lor \quad \boxed{x=4}_{\ \in \text{D}} \] ( \(x=1_{\ \notin \text{D}}\) ).

Rozwiąż równania:

\(x^{\log^3 x-\tfrac{1}{2}\log x}=\sqrt{10}\)
\(x^{2-\log x}=10\)
\(x^{\log_4(4x)}=16\)
\((\sqrt{x})^{\log_7 x-1}=7\)

\(x^{\log^3 x-\tfrac{1}{2}\log x}=\sqrt{10}\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]

Niech \(t=\log x\). Własność \(x^{A}=10^{A\log x}=10^{At}\): \[10^{(t^3-\tfrac{1}{2}t)\,t}=10^{\tfrac{1}{2}}\\[6pt] t^4-\tfrac{1}{2}t^2=\tfrac{1}{2}\\[6pt] 2t^4-t^2-1=0\\[6pt] u:=t^2\\[6pt] 2u^2-u-1=0\\[6pt] \Delta=1+8=9\\[6pt] u=1\ \lor\ u=-\tfrac{1}{2}\] Bierzemy \(u=t^2=1\), więc \(t=1\ \lor\ t=-1\).

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &\log x=1\\[6pt] &\boxed{x=10}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &\log x=-1\\[6pt] &\boxed{x=0{,}1}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\(x^{2-\log x}=10\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]

Niech \(t=\log x\), wtedy: \[10^{t(2-t)}=10^{1}\\[6pt] t(2-t)=1\\[6pt] -t^2+2t-1=0\\[6pt] (t-1)^2=0\\[6pt] t=1\]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &\log x=1\\[6pt] &\boxed{x=10}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\(x^{\log_4(4x)}=16\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x\gt 0\ \land\ 4x\gt 0 \end{split} \] Zatem: \(x\gt 0\).

Niech \(t=\log_4 x\). Wówczas \(\log_4(4x)=1+t\) oraz \(x=4^{t}\): \[ (4^{t})^{\,1+t}=16\\[6pt] 4^{\,t(1+t)}=4^{2}\\[6pt] t(1+t)=2\\[6pt] t^2+t-2=0\\[6pt] \Delta=1+8=9,\ \ t=1\ \lor\ t=-2 \]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &\log_4 x=1\\[6pt] &\boxed{x=4}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &\log_4 x=-2\\[6pt] &\boxed{x=\tfrac{1}{16}}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]
\((\sqrt{x})^{\log_7 x-1}=7\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]

Niech \(t=\log_7 x\). Ponieważ \(\sqrt{x}=7^{t/2}\): \[ \big(7^{t/2}\big)^{\,t-1}=7\\[6pt] 7^{\,\frac{t}{2}(t-1)}=7^{1}\\[6pt] \frac{t}{2}(t-1)=1\\[6pt] t^2-t-2=0\\[6pt] \Delta=1+8=9,\ \ t=2\ \lor\ t=-1 \]

Powrót do \(x\): \[ \begin{aligned} &\log_7 x=2\\[6pt] &\boxed{x=49}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \quad \lor \quad \begin{aligned} &\log_7 x=-1\\[6pt] &\boxed{x=\tfrac{1}{7}}_{\ \in \text{D}} \end{aligned} \]

Rozwiąż równanie \( \log_{x}\! 4=2 \).

\(x=2\)

Rozwiąż równanie \( \log_{x}\! 125=3 \).

\(x=5\)

Rozwiąż równanie \( \log_{x}\! \frac{1}{9}=-2 \).

\(x=3\)

Rozwiąż równanie \( \log_{3x}\! 16=2 \).

\(x=\frac{4}{3}\)

Rozwiąż równanie \( \log_{2x+1}\! 81=4 \).

\(x=1\)

Rozwiąż równanie \( \log_{3} (2x+7)=2 \).

\(x=1\)

Rozwiąż równanie \( \log_{\sqrt{2}} (9-x)=4 \).

\(x=5\)

Rozwiąż równanie \( \log_{\sqrt{3}} (x-10)-7=-5 \).

\(x=13\)

Jeżeli \( \log_{\ x}\frac{1}{64}=-4 \), to liczba \( x \) jest równa:

A.\(\frac{1}{2} \)

B.\(2\sqrt{2} \)

C.\(2 \)

D.\(4 \)

Rozwiąż równanie: \(\log_\sqrt{2}\left(\log_7\frac{2^x+104}{2^{x+1}}\right)=0\).

\(x=3\)

Rozwiąż równanie: \(\frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x+4)}=\frac{1}{2}\).

\(x=5\)

Rozwiąż równanie: \(\frac{1}{2}\log (x-3)^2=\log (x^2+x+3)\).

\(x=-2\lor x=0\)