Poziom rozszerzony
Nierówności logarytmiczne to nierówności, w których niewiadoma występuje w liczbie logarytmowanej, np: \[\log_2(x-1)\gt 3\] lub w podstawie logarytmu, np: \[\log_x(3)\gt 3\] lub i w obu miejscach na raz, np: \[\log_x(x+1)\gt 3\]
Ogólny sposób na rozwiązywanie
- Wyznaczamy dziedzinę.
Wyrażenie \(\log_{f(x)}g(x)\) jest określone, jeżeli \(f(x) \gt 0\) i \(f(x)\ne 1\) oraz \(g(x) \gt 0\). - Pozbywamy się logarytmów.
Jeśli nierówność ma postać \(\log_a(f(x)) \gt g(x)\), to przekształcamy ją do postaci: - \(f(x) \gt a^{g(x)}\) dla \(a\gt 1\),
- \(f(x) \lt a^{g(x)}\) dla \(a\in (0,1)\).
Czyli zmieniamy znak na przeciwny jeżeli podstawa logarytmu jest ułamkiem mniejszym od \(1\).
- Rozwiązujemy nierówność bez logarytmu, biorąc pod uwagę dziedzinę.
Rozwiąż nierówność:\(\log_2(x-1)\gt 3\)
Wyznaczamy dziedzinę: \[x-1\gt 0\\[6pt] x\gt 1\] Usuwamy logarytm: \[\log_2(x-1)\gt 3\\[6pt] 2^{\log_2(x-1)}\gt 2^3\\[6pt] x-1\gt 8\\[6pt] x\gt 9\] Uwzględniamy dziedzinę: \[x\gt 9\quad \land \quad x\gt 1\] Zatem ostatecznie: \[x\gt 9\]
Rozwiąż nierówność:\(\log_{\frac{1}{3}}(2x-1)\gt 2\)
Wyznaczamy dziedzinę: \[2x-1\gt 0\\[6pt] x\gt \frac{1}{2}\] Usuwamy logarytm: \[\log_{\frac{1}{3}}(2x-1)\gt 2\] Podstawa jest mniejsza od \(1\), więc odwracamy znak: \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}(2x-1)}\lt \left(\frac{1}{3}\right)^2\\[6pt] 2x-1\lt \frac{1}{9}\\[6pt] 2x \lt \frac{10}{9}\\[6pt] x\lt \frac{5}{9}\] Uwzględniamy dziedzinę: \[x\lt \frac{5}{9}\quad \land \quad x\gt \frac{1}{2}\] Zatem ostatecznie: \[x\in \left(\frac{1}{2}; \frac{5}{9}\right)\]