Poziom rozszerzony
Przypomnijmy definicję
funkcji złożonej.
Definicja
Jeśli \(f: X \rightarrow Y\) i \(g: Y \rightarrow Z\), to funkcję \(g \circ f: X \rightarrow Z\) nazywamy złożeniem funkcji \(f\) i \(g\) i zapisujemy wzorem: \[(g \circ f)(x)=g(f(x))\] Funkcję \(f\) nazywamy funkcją wewnętrzną, funkcję \(g\) - funkcją zewnętrzną. Twierdzenie
Jeżeli funkcja \(f\) ma pochodną w punkcie \(x_0\), a funkcja \(g\) ma pochodną w punkcie \(f\left(x_0\right)\), to funkcja \(g \circ f\) ma pochodną w punkcie \(x_0\) oraz: \[ (g \circ f)^{\prime}(x_0)=\left(g\left(f\left(x_0\right)\right)\right)^{\prime}=g^{\prime}\left(f\left(x_0\right)\right) \cdot f^{\prime}\left(x_0\right) \] Wyznacz pochodną funkcji \(h(x)=(5x+2)^3\).
Funkcja \(h\) jest złożeniem funkcji \(f(x)=5x+2\) i \(g(x)=x^3\), zatem: \[ h^{\prime}(x) =3(5x+2)^2 \cdot(5x+2)^{\prime}=3(5x+2)^2 \cdot 5= 15(5x+2)^2 \] Pochodną funkcji \(h\) można również obliczyć, podnosząc najpierw nawias do potęgi \[ h(x)=(5x+2)^3=125x^3 + 150x^2 + 60x + 8 \] a następnie obliczając pochodną otrzymanej funkcji wielomianowej: \[h^{\prime}(x)=375x^2+300x+60=15(5x+2)^2\]