Poziom rozszerzony
Definicja
Jeśli \(f: X \rightarrow Y\) i \(g: Y \rightarrow Z\), to funkcję \(g \circ f: X \rightarrow Z\) nazywamy złożeniem funkcji \(f\) i \(g\) i zapisujemy wzorem: \[(g \circ f)(x)=g(f(x))\] Funkcję \(f\) nazywamy funkcją wewnętrzną, funkcję \(g\) - funkcją zewnętrzną. Uwaga. Składanie funkcji nie jest przemienne - funkcje \(f \circ g\) oraz \(g \circ f\) mają zazwyczaj różne wzory.
Niech \(f(x)=x^2,\ g(x)=x+1\). Wyznacz złożenia \(f \circ g\), \(g \circ f\) oraz dziedziny tych złożeń.
\[(f \circ g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2\] Dziedzina \(D_{f\ \circ\ g}: \mathbb{R}\). \[(g \circ f)(x)=g(f(x))=x^2+1\] Dziedzina \(D_{g\ \circ f}: \mathbb{R}\).
Niech \(f(x)=\sqrt{x},\ g(x)=x^2-4\). Wyznacz złożenia \(f \circ g\), \(g \circ f\) oraz dziedziny tych złożeń.
\[(f \circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{x^2-4}\] Wyznaczamy dziedzinę \(D_{f\ \circ\ g}\): \[x^2-4\ge0\\[6pt] x^2\ge 4\\[6pt] x\le-2\quad \lor \quad x\ge2\] Zatem \(D_{f\ \circ\ g}: (-\infty ,-2\rangle \cup \langle 2,+\infty )\) \[(g \circ f)(x)=g(f(x))=(\sqrt{x})^2-4=x-4\]
Dziedzinę funkcji złożonej \(g \circ f\) wyznaczamy na podstawie nieuproszczonego wzoru funkcji, czyli \((g \circ f)(x)=(\sqrt{x})^2-4\). Należy zatem założyć, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne: \[x\geqslant 0\] Zatem \(D_{g\ \circ f}: \langle 0, +\infty )\).
Powyższą dziedzinę można też wyznaczyć uwzględniając fakt, że dziedzina funkcji złożonej musi zawierać się w dziedzinie funkcji wewnętrznej.
Dziedzina funkcji złożonej \(g \circ f\) jest zawarta w dziedzinie funkcji wewnętrznej \(f\).