Pochodne funkcji złożonych II

Drukuj

Poziom studiów

W tym dziale kontynuujemy obliczanie pochodnych funkcji złożonych, korzystając ze wzoru: \[ (g \circ f)^{\prime}(x_0)=\left(g\left(f\left(x_0\right)\right)\right)^{\prime}=g^{\prime}\left(f\left(x_0\right)\right) \cdot f^{\prime}\left(x_0\right) \]

Dane są funkcje \(f(x)=3x^2\) oraz \(g(x)=\sin x\). Oblicz pochodną złożenia funkcji \(f(x)\) z funkcją \(g(x)\) oraz pochodną złożenia funkcji \(g(x)\) z funkcją \(f(x)\).

Najpierw obliczymy pochodną złożenia funkcji \(f(x)\) z funkcją \(g(x)\):

\[\Bigl(f\bigl(g(x)\bigl)\Bigl)'=\bigl(f(\sin x)\bigl)'=\bigl(3(\sin x)^2\bigl)'=2\cdot 3\sin x\cdot (\sin x)'=6\sin x\cos x\]

\[\begin{split} \Bigl(f\bigl(g(x)\bigl)\Bigl)' &=\bigl(f(\sin x)\bigl)'=\\[6pt] &=\bigl(3(\sin x)^2\bigl)'=\\[6pt] &=2\cdot 3\sin x\cdot (\sin x)'=\\[6pt] &=6\sin x\cos x \end{split}\]

Teraz pochodna złożenia funkcji \(g(x)\) z funkcją \(f(x)\):

\[\Bigl(g\bigl(f(x)\bigl)\Bigl)'=\bigl(g(3x^2)\bigl)'=\bigl(\sin (3x^2)\bigl)'=\cos(3x^2)\cdot (3x^2)'=6x\cos (3x^2)\]

\[\begin{split} \Bigl(g\bigl(f(x)\bigl)\Bigl)' &=\bigl(g(3x^2)\bigl)'=\\[6pt] &=\bigl(\sin (3x^2)\bigl)'=\\[6pt] &=\cos(3x^2)\cdot (3x^2)'=\\[6pt] &=6x\cos (3x^2) \end{split}\]

Oblicz pochodną funkcji \(f(x) =\sqrt{3 x^4-4 x} \).

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{3 x^4-4 x}} \cdot\left(3 x^4-4 x\right)^{\prime}=\frac{6 x^3-2}{\sqrt{3 x^4-4 x}}\]

\begin{aligned} f^{\prime}(x) & =\frac{1}{2 \sqrt{3 x^4-4 x}} \cdot\left(3 x^4-4 x\right)^{\prime}= \\ & =\frac{12 x^3-4}{2 \sqrt{3 x^4-4 x}}= \\ & =\frac{6 x^3-2}{\sqrt{3 x^4-4 x}} \end{aligned}

Oblicz pochodną funkcji:

\(f(x)=\operatorname{ctg}\left(x^{2}+1\right)\)
\(f(x)=\operatorname{arcctg} e^{x}\)
\(f(x)=\arcsin (6 x)\)
\(f(x)=\left(4 \sin { }^{2} x-x\cdot e^x\right)^{-3}\)

Oblicz pochodną funkcji:

\(f(x)=\sin ^2 x\)
\(g(x)=\sin ^3 x\)
\(h(x)=\sin ^7 x\)

Oblicz pochodną funkcji:

\(f(x)=(3 x+\sin x)^2\)
\(g(x)=\left(7 x^3+5 \cos x\right)^{11}\)

Oblicz pochodną funkcji:

\(f(x)=\sin ^2 x-\cos ^2 x\)
\(g(x)=\left(\sin ^2 x-\cos ^2 x\right)^{11}\)

Oblicz pochodną funkcji:

\(f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{1+x^2}}\)
\(g(x)=\sqrt[5]{\sin 4 x}\)