PEWNIAKI do matury 2025

Liczba \(\left(3^{-2,4}\cdot 3^{\Large{\frac{2}{5}}}\right)^{\Large{\frac{1}{2}}}\) jest równa

Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}\) jest równa

Liczba \(\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}\) jest równa

Liczba \(\log_2\left[(\sqrt{2})^2\cdot (\sqrt{2})^4\cdot (\sqrt{2})^8\right]\) jest równa

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}\) jest równy

Liczba \(\log_2\frac{1}{8} + \log_2 4\) jest równa

Liczba \(\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5\) jest równa

Dane są liczby \(a=\log _2(3 \sqrt{5}+\sqrt{13})\) oraz \(b=\log _2(3 \sqrt{5}-\sqrt{13})\). Liczba \(a+b\) jest równa

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \(\log _{7} x+6 \log _{7} y\) jest równa wartości wyrażenia

Liczba \(|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|\) jest równa

 Liczby \(x_{1}\) i \(x_{2}\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x+4|=7\). Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa

Wartość wyrażenia \( \vert{3-x}\vert-\vert{x+4}\vert \) dla \( x \in (3,+\infty) \) jest równa

Dla każdej liczby \( x \), spełniającej warunek \( -3 \lt x \lt 0 \), wyrażenie \( \frac{|x+3|-x+3}{x} \) jest równe

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).

Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).

Wykaż, że liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\).

Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot \frac{x-2}{x}\) jest równe

Dane jest równanie \[ \frac{2}{2 x+1}=\frac{x-1}{x+2} \]

\[(3 x-4)(x-1)\lt x\]

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([−4, 1]\) jest równa

Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt -1\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\).

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(-x)\) dla każdego \(x\in [-7,-5]\cup [-4,4]\cup [5,7]\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), wykres funkcji \(y = g(x)\). Wykres funkcji \(y = g(x)\) przedstawiono na rysunku

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.

Wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci: ………. oraz ………. .

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x + 1)\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), fragment wykresu funkcji \(y = g(x)\). Fragment wykresu funkcji \(y = g(x)\) przedstawiono na rysunku

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach \[k: y = \frac{2}{3}x\] \[l: y = -\frac{3}{2}x + 13\] Proste \(k\) oraz \(l\)

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -x + 1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P = (0, -1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\). Wzorem funkcji \(g\) jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach \[k: y=-\frac{1}{2}x-7\] \[l: y=(2m-1)x+13\] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+7) x+5\) oraz \(g(x)=3x\) nie maja punktów wspólnych dla

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(O y\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) ma współrzędne \((0,4)\) (zobacz rysunek).

Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji \(f\), jest równy \((-2)\).	P	F
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) oraz wykresem funkcji \(f\) jest równe \(8\).	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-7 x+3\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(O y\) w punkcie \((0,6)\). Punkt o współrzędnych \((1, p)\) należy do prostej \(l\). Liczba \(p\) jest równa

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę \(70^\circ\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie, że \(|\sphericalangle ADB| = 20^\circ\) i \(|\sphericalangle DBC| = 40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\). Miara kąta \(DKC\) jest równa

W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\). Miara kąta \(\beta\) jest równa

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt o mierze \(32^\circ\). Ponadto odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta rozwartego \(BOC\) jest równa

Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a - 1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa

Trzywyrazowy ciąg \((1, 4, a + 5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa

Ciąg \((3x^2+5x,x^2,20-x^2)\) jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg \((1 - 2a, 12, 48)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa

Dany jest ciąg geometryczny \(\left(a_{n}\right)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), w którym \(a_{2}=\frac{1}{6}\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{9}\). Piąty wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 2^n \cdot (n + 1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Wyraz \(a_4\) jest równy

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot \frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem \(S_n = 4\cdot (2^n - 1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy \(4\).	P	F
Drugi wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy \(12\).	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O = (0, 0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P = (-3, 1)\) (zobacz rysunek). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7}\) . Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}\). Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

Dane są dwa kąty o miarach \(\alpha\) oraz \(\beta\), spełniające warunki:

1.	Kąt \(\alpha\) jest zaznaczony na rysunku
2.	Kąt \(\beta\) jest zaznaczony na rysunku

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) określony równaniem: \[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \] 1. Ṡrodek \(S\) okręgu \(\mathcal{O}\) ma współrzędne 2. Promień \(r\) okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy

 W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są cztery okręgi: \(o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4}\), o równaniach: \[ \begin{aligned} & o_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1 \\[6pt] & o_{2}:(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9 \\[6pt] & o_{3}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \\[6pt] & o_{4}:(x+3)^{2}+(y+4)^{2}=16 \end{aligned} \] Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych \((x, y)\), jest

Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16 \pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\). Objętość tego walca jest równa

Objętość stożka o wysokości \(2\) jest równa \(8 \pi\).

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0, 5, 7\) (np. \(57\ 075, 55\ 555\)), jest

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od \(1\) do \(8\) - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby \(8\).

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Dane są dwa zbiory: \(C=\{1,2,3,4,5,6\}\) oraz \(D=\{7,8,9,10\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.

1.	Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa
2.	Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku. Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [\(19\) dag, \(21\) dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą \(50\) jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano - wyrażoną w dekagramach - masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Spośród \(50\) zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe

Dominanta masy \(50\) zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa

A.	20 dag	ponieważ	1.	ta masa jest największa w tej próbie.
			2.	iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.
B.	23 dag
			3.	ta masa występuje najliczniej w tej próbie.

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB| = 400\) m oraz \(|CD| = 100\) m. Wysokość trapezu jest równa \(75\) m, a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek). Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

• przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x) = 196x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \[K(x) = 4x^2 + 4x + 240\]

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12\) dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18\) dm.

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z \(30\) kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \[L(n) = -n^2 + 22n + 279\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n \ge 1\) i \(n \le 30\).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa \(L(30)\).	P	F
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono \(336\) klientów.	P	F

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość \(26\).

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).	P	F
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).	P	F

Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\). Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

Dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S\). Średnica \(AB\) tego okręgu przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Ponadto: \(|PB| = 4\), \(|PC| = 8\) oraz \(|PD| = 5\).

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\) i ma długość równą \(6\) (zobacz rysunek).

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(384\). Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{4}{3}\) (zobacz rysunek).

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.