Matura
◀ Najważniejsze informacje o maturze od 2025
KURS - matura rozszerzona 2025 ▶

KURS - matura podstawowa 2025

Drukuj
Poziom podstawowy
Kurs do matury podstawowej z matematyki dla uczniów zdających maturę w formule 2023 w maju 2025 roku. Kurs jest przygotowany według nowej podstawy programowej, obowiązującej od roku szkolnego 2024/2025.
Kurs do poziomu rozszerzonego jest tutaj: Kurs rozszerzony 2025.
Cechy kursu:
  • Zgodny z formułą 2023 oraz zaktualizowanymi wymaganiami do matury od 2025 roku.
  • Zawiera wybrane lekcje z kursów z ubiegłych lat, które są w 100% zgodne z wymaganiami do matury od 2025 roku.
  • Zawiera nowe lekcje opracowane na podstawie zaktualizowanych wymagań CKE obowiązujących od matury 2025.
Kurs podstawowy dla osób zdających maturę w formule 2015 jest tutaj: kurs - formuła 2015.
Szybka nawigacja do działów kursu:
I
Liczby rzeczywiste
II
Wyrażenia algebraiczne
III
Równania i nierówności
IV
Funkcje
V
Ciągi
VI
Trygonometria
VII
Planimetria
VIII
Geometria analityczna
IX
Stereometria
X
Kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
XI
Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dział I - Liczby rzeczywiste

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • Własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych.
  • Związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
  • Stosowanie potęg i pierwiastków w zadaniach dowodowych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie logarytmów.
  • Związek logarytmowania z potęgowaniem. Zastosowania wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęg.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: \(|x+4|=5\).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie procentów.
  • Wielokrotne obniżki i podwyżki cen.
  • Obliczania procentów składanych i zysków z lokat.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Pojęcie przedziału liczbowego i zaznaczanie przedziałów na osi liczbowej.

Dział II - Wyrażenia algebraiczne

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\)
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wartości wielomianu i pojęcie stopnia wielomianu;
  • Działania na wielomianach - dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomiany jednej i wielu zmiennych;
  • Zadania łączone z innymi działami oraz zadanie dowodowe.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

Dział III - Równania i nierówności

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Równania kwadratowe z jedną niewiadomą.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Nierówności liniowe z jedną niewiadomą.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Przekształcanie równań i nierówności w sposób równoważny;
  • Równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
  • Równania i nierówności liniowe i kwadratowe;
  • Suma i część wspólna zbiorów liczbowych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, interpretacja geometryczna układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Metody rozwiązywania układów równań.
  • Układy równań w zadaniach tekstowych.

Dział IV - Funkcje

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Określanie funkcji jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
  • Obliczenie, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Odczytywanie z wykresu funkcji: dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych, przedziałów monotoniczności, przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumentów, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rysowanie wykresu funkcji liniowej;
  • Interpretacja współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej;
  • Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej zadanej wzorem.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wyznaczanie największej i najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wykorzystywanie własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń posługuje się funkcją \(f(x)=\frac{a}{x}\), w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Posługiwanie się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Dział V - Ciągi

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym;
  • Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego;
  • Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Obliczanie wyrazów ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym;
  • Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego;
  • Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Sprawdzanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Badanie w prostych przypadkach, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wykorzystywanie własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Dział VI - Trygonometria

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wykorzystywanie definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\), w szczególności wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\);
  • Stosowanie wzorów na jedynkę trygonometryczną \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) oraz na tangens \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\);
  • Obliczanie kątów trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych.
  • Obliczanie przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Stosowanie twierdzenie cosinusów oraz wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma \)
  • Obliczanie kątów trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych.

Dział VII - Planimetria

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Kąty wpisane i środkowe w okręgu.
  • Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą.
  • Promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych.
  • Pole wycinka koła i długość łuku okręgu.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok.
  • Wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności.
  • Rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
  • Wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń stosuje twierdzenie Talesa.

Dział VIII - Geometria analityczna

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje.
  • Posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej lub ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej).
  • Oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Dział IX - Stereometria

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się.
  • Posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną.
  • Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), oblicza miary tych kątów.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
  • Wykorzystuje zależność między objętościami graniastosłupów oraz ostrosłupów podobnych.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń rozpoznaje w walcach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami,
  • oblicza objętości i pola powierzchni walca, również z wykorzystaniem trygonometrii,
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Uczeń rozpoznaje w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów,
  • oblicza objętości i pola powierzchni stożka, również z wykorzystaniem trygonometrii,
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • oblicza objętości i pola powierzchni kuli,
  • wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Dział X - Kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra \(1\) i dokładnie jedna cyfra \(2\),
    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra \(0\) i dokładnie jedna cyfra \(1\).
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.
  • Oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych.

Dział XI - Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:
  • Rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Tematy nadrzędne i sąsiednie
Matura
◀ Najważniejsze informacje o maturze od 2025
KURS - matura rozszerzona 2025 ▶