KURS - matura rozszerzona 2026

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Wzór na zamianę podstawy logarytmu.
• Inne wzory związane z logarytmami.
• Zadania dowodowe z logarytmów.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
• Stosowanie potęg i pierwiastków w zadaniach dowodowych.
• Wzory skróconego mnożenia w zadaniach dowodowych.

Materiał dodatkowy (uzupełniający podstawy z wielomianów).
Zadania z tego materiału są poniżej poziomu rozszerzonego, ale trzeba je umieć, dlatego dodaję ten materiał jako dodatkowy - uzupełniający wiedzę podstawową. Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Wyłączanie poza nawias jednomianu z sumy algebraicznej;
• Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
• Rozwiązywanie równań wielomianowych postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
• Interpretowanie miejsca zerowego wielomianu.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.
• Dzielenie pisemne wielomianu przez dwumian \((x-a)\).
• Równanie wielomianowe dwukwadratowe.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian postaci \(x−a\).
• Twierdzenie Bézouta.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• uczeń stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
  \(\binom{n}{0}=1,\ \binom{n}{1}=n\), \(\binom{n}{n-1}=n\),
  \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\),
  \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \)
• uczeń korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3,\ a^3-b^3,\ a^n-b^n,\ (a+b)^n\) i \((a-b)^n\)

Materiał uzupełniający:

• Równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)\gt 0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)\lt 0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

Materiał dodatkowy z prostymi zagadnieniami z wyrażeń wymiernych, wykraczający nieznacznie ponad poziom podstawowy.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych;
• Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych, w przypadkach nie trudniejszych niż: \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\), \(\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}\).
• Równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż
  \(\frac{x+1}{x(x-1)}+\frac{1}{x+1}\ge\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\)

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Wzory Viete'a dla równań kwadratowych.
• Wyznaczanie parametru \(m\) dla którego rozwiązania równania spełniają określone warunki.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: \(2|x+3|+3|x-1|=13\), \(|x+2|+2|x-3|\lt11\)

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci \(\begin{cases} ax+by=e \\ x^2+y^2+cx+dy=f \end{cases} \) lub \(\begin{cases} ax+by=e \\ y=cx^2+dx+f \end{cases} \)
• rozwiązuje układy równań kwadratowych postaci \(\begin{cases} x^2+y^2+ax+by=c \\ x^2+y^2+dx+ey=f \end{cases} \)

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\), \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\).

Materiał uzupełniający:

• Przekształcanie wykresu funkcji homograficznej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń posługuje się złożeniami funkcji.

Materiał uzupełniający:

• Rysowanie i przekształcanie wykresów funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
• Dziedzina funkcji logarytmicznej.
• Badanie liczby rozwiązań równań z parametrem.

Materiał uzupełniający:

• Uczeń szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Różne zadania z ciągów, a w szczególności takie, w których występuje jednocześnie ciąg arytmetyczny i geometryczny.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac{1}{n}\), \(\sqrt[n]{a}\) oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach.
• Posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens
• Stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych.
• Wykresy funkcji trygonometrycznych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń rozwiązuje równania trygonometryczne.
• Uczeń korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń stosuje twierdzenie sinusów i cosinusów.
• Uczeń oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (m.in. z wykorzystaniem twierdzenia sinusów).

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• twierdzenie Talesa i odwrotne do twierdzenia Talesa

Materiał uzupełniający:

• W wymaganiach do matury rozszerzonej w 2025 roku nie ma jednokładności i obowiązuje jedynie umiejętność stosowania podobieństwa figur.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Dowody matematyczne w planimetrii.
• Powtórka różnych tematów z geometrii płaskiej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Pojęcie wektora i obliczanie jego współrzędne oraz długość.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Równanie prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie, w tym wyznaczanie równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu.
• Powtórka wybranych zagadnień z poziomu podstawowego

Materiał uzupełniający:

• Stosowanie wektorów do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Punkty wspólne prostej i okręgu
• Różne zadania z okręgów

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Punkty wspólne prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Posługuje się pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.
• Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną.
• Wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń oblicza objętości i pola powierzchni walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.
• Uczeń wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.
• Stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• oblicza prawdopodobieństwo warunkowe

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń stosuje wzór Bayesa.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Stosuje schemat Bernoulliego.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Oblicza granice funkcji (w tym jednostronne).

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu;

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Definicja pochodnej funkcji, interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej.
• Styczna do wykresu funkcji

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.
• Dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja \(f(x)=\frac{x-1}{x+2}\) jest monotoniczna w przedziale \((-\infty ,-2)\).
• Uczeń znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.