Nierówności wymierne

Wyznaczamy dziedzinę: \[x\ne 0\] Mnożymy nierówność stronami przez mianownik podniesiony do kwadratu (\(x^2\)), żeby mieć pewność, że mnożymy przez wyrażenie dodatnie. Dzięki temu wiemy, że znak nierówności się nie zmieni: \[\begin{split} \frac{4}{x} &\leqslant 5\qquad /\cdot x^2\\[6pt] 4x &\leqslant 5x^2\\[6pt] 4x-5x^2&\leqslant 0\\[6pt] x(4-5x)&\leqslant 0 \end{split}\] Rysujemy wykres funkcji \(f(x)=x(4-5x)\) i zaznaczamy przedziały, w których funkcja jest \(\leqslant 0\) (pamiętamy o dziedzinie: \(x\ne 0\)).
Do narysowania wykresu potrzebujemy miejsc zerowych funkcji: \[\begin{split} x(4-5x)&= 0\\[6pt] x=0\quad &\lor \quad 4-5x=0\\[6pt] x=0\quad &\lor \quad x=\frac{4}{5}\\[6pt] \end{split}\] Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności: \[x\in (-\infty ,0)\cup \left\langle \frac{4}{5}, +\infty \right\rangle \]

Wyznaczamy dziedzinę: \[x+5\ne 0\\[6pt] x \ne -5\] W tym przykładzie wspólny mianownik to \((x+5)^3\). Nie możemy jednak pomnożyć nierówności przez \((x+5)^3\), ponieważ mamy tu potęgę stopnia nieparzystego, a zatem dla \(x\lt 0\) wyrażenie przyjmuje wartości ujemne, a dla \(x\gt 0\) przyjmuje wartości dodatnie. Zatem mnożąc nierówność przez \((x+5)^3\) nie wiedzielibyśmy jak zachowa się znak nierówności.
Możemy pomnożyć nierówność przez \(\left((x+5)^3\right)^2\), ale nie ma takiej potrzeby. Wystarczy, że zwiększymy wykładnik do pierwszej parzystej potęgi, czyli pomnożymy przez \((x+5)^4\). Dzięki temu pozbędziemy się ułamków i mamy już pewność, że mnożymy przez wyrażenie dodatnie, czyli znak nierówności nie ulegnie zmianie. \[\begin{split} \frac{1}{(x+5)^3}&\geqslant\frac{1}{x+5}\qquad /\cdot (x+5)^4\\[6pt] x+5 &\geqslant (x+5)^3\\[6pt] x+5-(x+5)^3&\geqslant 0\\[6pt] (x+5)(1-(x+5)^2)&\geqslant 0\\[6pt] (x+5)\left((1-(x+5))(1+(x+5))\right)&\geqslant 0\\[6pt] (x+5)(-x-4)(x+6)&\geqslant 0 \qquad /\cdot (-1) \\[6pt] (x+5)(x+4)(x+6)&\leqslant 0 \end{split}\] Rysujemy wykres wielomianu \(f(x)=(x+5)(x+4)(x+6)\) i zaznaczamy przedziały, w których wielomian jest mniejszy lub równy \(0\) (pamiętamy o dziedzinie: \(x\ne -5\)). Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności: \[x\in (-\infty ,-6\rangle \cup \left(-5, -4\right\rangle \]

Wyznaczamy dziedzinę: \[3-x\ne 0\quad \land \quad 2-x\ne 0\\[6pt] x\ne 3\quad \land \quad x \ne 2 \] Mnożymy nierówność stronami przez wspólny mianownik podniesiony do kwadratu, a następnie przenosimy wszystko na jedną stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[ \frac{5-x}{3-x} \leqslant \frac{3 x-1}{2-x}\qquad / \cdot (3-x)^2(2-x)^2\\ (5-x)(3-x)(2-x)^2 \leqslant (3 x-1)(2-x)(3-x)^2 \\ (2-x)(3-x)\biggl((5-x)(2-x)-(3 x-1)(3-x)\biggl) \leqslant 0 \\ (2-x)(3-x)(10-7x+x^2-9x+3x^2+3-x) \leqslant 0 \\ (2-x)(3-x)(4x^2-17x+13)\leqslant 0 \] Liczymy deltę i rozwiązania równania kwadratowego \(4x^2-17x+13\): \[\Delta =17^2-16\cdot 13=81=9^2\] \[x_1=\frac{17-9}{8}=1\quad \lor \quad x_2=\frac{17+9}{8}=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}\] Zatem ostatecznie mamy nierówność postaci: \[(2-x)(3-x)(x-1)\left(x-\frac{13}{4}\right)\leqslant 0\] Rysujemy wykres wielomianu i zaznaczamy przedziały, w których wielomian jest mniejszy lub równy \(0\) (pamiętamy o dziedzinie: \(x\ne 3\) oraz \(x \ne 2\)). Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności: \[x\in \langle 1, 2)\cup \left(3, \frac{13}{4}\right\rangle \]