Równania wymierne

Wyznaczamy dziedzinę: \[\begin{split} x^2-9&=0\\[6pt] x^2&=9\\[6pt] x=-3\quad &\lor \quad x=3 \end{split}\] Przyrównujemy licznik do zera (lub równoważnie mnożymy całe równanie stronami przez mianownik \(x^2-9)\)): \[\begin{split} 2x^2-6x&=0\\[6pt] 2x(x-3)&=0\\[6pt] x=0_{\ \in D}\quad &\lor x-3=0\\[6pt] \ \ \ \quad &\lor x=3_{\ \notin D} \end{split}\] Z powyższych rozwiązań tylko \(x=0\) należy do dziedziny i to jest jedyne rozwiązanie tego równania.

Wyznaczamy dziedzinę, czyli liczymy miejsca zerowe mianownika: \[x-2=0\\[6pt] x=2\] Mnożymy równanie stronami przez mianownik \(x-2\) i rozwiązujemy równanie: \[ \begin{split} \frac{6-3 x}{x-2}&=x-3 \quad / \cdot(x-2) \\[6pt] 6-3 x&=(x-3)(x-2) \\[6pt] 6-3 x&=x^2-5 x+6 \\[6pt] x^2-5 x+3 x+6-6&=0 \\[6pt] x^2-2 x&=0 \\[6pt] x(x-2)&=0 \\[6pt] x=0 \quad &\vee \quad x-2=0 \\[6pt] x=0_{\ \in D} \quad &\vee \quad x=2_{\ \notin D} \end{split} \] Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale drugie rozwiązanie (\(x=2\)) nie należy do dziedziny, zatem mamy tylko jedno rozwiązanie: \[x=0\]

Ustalamy dziedzinę. Mianowniki muszą być różne od zera: \[\begin{split} x-1 \neq 0\quad &\land \quad x +2\neq0\\[6pt] x \neq 1\quad &\land \quad x \neq -2 \end{split}\]

Zatem dziedzina to: \(D = \mathbb{R}\backslash \{-2, 1\} \).

Rozwiązujemy równanie mnożąc na krzyż: \[ \frac{2 x+1}{x-1}=\frac{x-2}{x+2}\\[6pt] (2x+1)(x+2)=(x-2)(x-1)\\[6pt] 2x^2+4 x+x+2 = x^2-x-2 x+2\\[6pt] 2x^2+5 x+2 = x^2-3 x+2\\[6pt] 2x^2+5 x+2-\left(x^2-3 x+2\right)=0\\[6pt] 2x^2+5 x+2-(x^2-3x+2)=0\\[6pt] x^2+8x=0\\[6pt] x(x+8)=0\\[6pt] x=0_{\ \in D}\quad \lor \quad x=-8_{\ \in D} \] Oba rozwiązania \(x=0\) oraz \(x=-8\) należą do dziedziny, więc są dobrymi rozwiązaniami.

Ustalamy dziedzinę. Mianowniki muszą być różne od zera: \[\begin{split} x+2 \neq 0\quad &\land \quad x -3\neq0\\[6pt] x \neq -2\quad &\land \quad x \neq 3 \end{split}\]

Zatem dziedzina to: \(D = \mathbb{R}\backslash \{-2, 3\} \).

Rozwiązujemy równanie mnożąc na krzyż: \[ \frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x-3}\\[6pt] (x+1)(x-3)=(x+2)^2\\[6pt] x^2-2x-3=x^2+4x+4\\[6pt] x^2-2x-3-x^2-4x-4=0\\[6pt] -6x-7=0\\[6pt] -6x=7\\[6pt] x=-\frac{7}{6}_{\ \in D} \] Rozwiązanie \(x=-\frac{7}{6}\) należy do dziedziny, więc jest poprawne.

Ustalamy dziedzinę. Mianowniki muszą być różne od zera: \[ \begin{split} x-3 \neq 0\quad &\land \quad x+2 \neq 0\\[6pt] x \neq 3\quad &\land \quad x \neq -2 \end{split} \]

Zatem dziedzina to: \(D = \mathbb{R}\backslash \{-2, 3\} \).

Rozwiązujemy równanie mnożąc obustronnie przez wspólny mianownik \(3(x-3)(x+2)\): \[ \frac{2}{x-3}+\frac{4x}{x+2}=\frac{1}{3}\\[6pt] 6(x+2)+12x(x-3)=(x-3)(x+2)\\[6pt] 6x+12+12x^2-36x=x^2-x-6\\[6pt] 12x^2-30x+12=x^2-x-6\\[6pt] 12x^2-30x+12-x^2+x+6=0\\[6pt] 11x^2-29x+18=0 \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe deltą: \[ \Delta=(-29)^2-4\cdot 11\cdot 18=841-792=49 \] Zatem: \[ x_1=\frac{29-7}{22}=1_{\ \in D}\quad \lor \quad x_2=\frac{29+7}{22}=\frac{18}{11}_{\ \in D} \] Oba rozwiązania \(x=1\) oraz \(x=\frac{18}{11}\) należą do dziedziny, więc są poprawne.

Ustalamy dziedzinę. Mianowniki muszą być różne od zera: \[ \begin{split} x-1 \neq 0\quad &\land \quad x-2 \neq 0\\[6pt] x \neq 1\quad &\land \quad x \neq 2 \end{split} \]

Zatem dziedzina to: \(D = \mathbb{R}\backslash \{1, 2\} \).

Rozwiązujemy równanie mnożąc obustronnie przez wspólny mianownik \((x-1)(x-2)\): \[ \frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{3x-2}{x-1}\\[6pt] x(x-2)+2(x-1)=(3x-2)(x-2)\\[6pt] x^2-2x+2x-2=3x^2-8x+4\\[6pt] x^2-2=3x^2-8x+4\\[6pt] x^2-2-3x^2+8x-4=0\\[6pt] -2x^2+8x-6=0\\[6pt] x^2-4x+3=0\\[6pt] (x-1)(x-3)=0\\[6pt] x=1_{\ \notin D}\quad \text{lub}\quad x=3_{\ \in D} \] Zatem jedynym poprawnym rozwiązaniem równania jest \(x=3\).