Najnowsze filmy

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(3m+3)x+2m^2+2m=0\] ma dwa różne rozwiązania \(x_1, x_2\), takie, że ciąg \((x_1, x_2, 12)\) jest arytmetyczny.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12\) dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18\) dm.

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(5\). Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt \(P\) (zobacz rysunek). Suma odległości punktu \(\)P od wszystkich ścian sześcianu \(ABCDEFGH\) jest równa

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(384\). Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{4}{3}\) (zobacz rysunek).

Dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S\). Średnica \(AB\) tego okręgu przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Ponadto: \(|PB| = 4\), \(|PC| = 8\) oraz \(|PD| = 5\).

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt o mierze \(32^\circ\). Ponadto odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta rozwartego \(BOC\) jest równa

W rombie \(ABCD\) dłuższa przekątna \(AC\) ma długość \(12\) i tworzy z bokiem \(AB\) kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Pole rombu \(ABCD\) jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S = (4, -2)\). Okrąg \(O\) jest styczny do osi \(Ox\) układu współrzędnych. Okrąg \(O\) jest określony równaniem

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(K = (-7, -2)\) oraz \(L = (-1, 4)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(KLM\). Pole trójkąta \(KLM\) jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(l\) o równaniu \(y = \frac{3}{2}x-\frac{15}{2}\). Prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\) i przechodzi przez punkt \(P = (6, 0)\). Prosta \(k\) ma równanie

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach \[k: y=-\frac{1}{2}x-7\] \[l: y=(2m-1)x+13\] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy

Dane są dwa kąty o miarach \(\alpha\) oraz \(\beta\), spełniające warunki:

1.	Kąt \(\alpha\) jest zaznaczony na rysunku
2.	Kąt \(\beta\) jest zaznaczony na rysunku

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\) . Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem \(S_n = 4\cdot (2^n - 1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy \(4\).	P	F
Drugi wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy \(12\).	P	F

Trzywyrazowy ciąg \((1 - 2a, 12, 48)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze \(22^\circ\)C opisuje funkcja wykładnicza \(T(x) = 78\cdot 2^{-0{,}05x}+22\), gdzie \(T(x)\) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (\(^\circ\)C) po \(x\) minutach liczonych od momentu \(x = 0\), w którym zioła zalano wrzątkiem. Temperatura naparu po \(20\) minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). W tym ciągu \(a_2 = 4\) oraz \(a_3 = 9\). Szósty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}\) .

Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(4\).	P	F
Punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(Oy\) ma współrzędne \(\left(0, -\frac{1}{6}\right)\)	P	F

Dany jest wielomian \(W(x) = -3x^3 - x^2 + kx + 1\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian \(W\) można zapisać w postaci \(W(x) = (x + 1)\cdot Q(x)\) dla pewnego wielomianu \(Q\). Liczba \(k\) jest równa

Rozwiąż równanie \[2x^3+3x^2=10x+15\] Zapisz obliczenia.

Dany jest układ równań \(\begin{cases} x - 3y + 5 = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases} \) Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-3)\) i \((-2)\) wartość wyrażenia \(\frac{x+3}{x^2+4x+4}\cdot \frac{x^2+2x}{2x+6}\) jest równa wartości wyrażenia

Na osi liczbowej zaznaczono przedział. Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).

Liczba \(\log_296-\log_23\) jest równa

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią.
Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(5\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę \(4851\) zł (bez uwzględnienia podatków). Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

Liczba \(\left(3^{-2,4}\cdot 3^{\Large{\frac{2}{5}}}\right)^{\Large{\frac{1}{2}}}\) jest równa

W pewnym sklepie jest \(12\) chlebów zwykłych i 4 razowe. Na ile sposobów można wybrać \(3\) chleby, gdy jeden z nich ma być razowy?

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f\) na danym przedziale.

Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji \(f\).

Wyznacz ekstrema funkcji \(f\).