Najnowsze filmy

Wykaż, że prawdziwa jest równość: \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3\)

Do szkolnego koła czytelniczego należy \(50\) uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

• Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ............ .
• Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ............ .

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(A B\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry \(0,1,2,3\) (np. \(12303\), \(11111\)), jest

Dane są dwa zbiory: \(C=\{1,2,3,4,5,6\}\) oraz \(D=\{7,8,9,10\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).

 W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są cztery okręgi: \(o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4}\), o równaniach: \[ \begin{aligned} & o_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1 \\[6pt] & o_{2}:(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9 \\[6pt] & o_{3}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \\[6pt] & o_{4}:(x+3)^{2}+(y+4)^{2}=16 \end{aligned} \] Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych \((x, y)\), jest

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(\alpha\), że \(\operatorname{tg} \alpha=3\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość \(p\). Objętość tego prostopadłościanu jest równa

Objętość stożka o wysokości \(2\) jest równa \(8 \pi\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(-2,-1)\) oraz \(C=(3,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Długość boku kwadratu \(ABCD\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-7 x+3\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(O y\) w punkcie \((0,6)\). Punkt o współrzędnych \((1, p)\) należy do prostej \(l\). Liczba \(p\) jest równa

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}\). Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(7{,}5\). Krótsza przekątna \(AC\) ma długość równą \(6\) i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(6\). Miara kąta wpisanego \(A C B\) jest równa \(60^{\circ}\) (zobacz rysunek). Długość łuku \(AB\), na którym oparty jest kąt wpisany \(ACB\), jest równa

Funkcja logarytmiczna \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\log _{6} x\) dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\).

Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(36\) jest równa \(6\).	P	F
Funkcja \(f\) jest rosnąca.	P	F

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \(a_{n}=3 \cdot(-1)^{n}+10\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest geometryczny.	P	F
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równa \(80\).	P	F

Trzywyrazowy ciąg ( \(5 m, 4+2 m, m\) ) jest arytmetyczny, gdy liczba \(m\) jest równa

Dany jest ciąg geometryczny \(\left(a_{n}\right)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), w którym \(a_{2}=\frac{1}{6}\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{9}\). Piąty wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases}3 & \text { dla } x \in(-4,-2] \\ -x+1 & \text { dla } x \in(-2,2] \\ x-3 & \text { dla } x \in(2,4]\end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

• Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział .............. .
• Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział .............. .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne, jest przedział .............. .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość, jest przedział .............. .

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(O y\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) ma współrzędne \((0,4)\) (zobacz rysunek).

Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji \(f\), jest równy \((-2)\).	P	F
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) oraz wykresem funkcji \(f\) jest równe \(8\).	P	F

Para liczb \(x=-1\) i \(y=6\) jest rozwiązaniem układu równań \[ \left\{\begin{array}{l} a x+3 y=20 \\ x+b y=5 \end{array}\right. \] gdzie \(a\) oraz \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Wartość wyrażenia \(a \cdot b\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-1)\), \(0\) oraz \(1\) wartość wyrażenia \(\frac{x}{x^{2}-1}: \frac{3 x^{2}}{x+1}\) jest równa wartości wyrażenia

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \(\log _{7} x+6 \log _{7} y\) jest równa wartości wyrażenia

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę \(60000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(p \%\) w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa \(67925,76\) zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków). Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Wykaż, że liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Liczba \(\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}\) jest równa

 Liczby \(x_{1}\) i \(x_{2}\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x+4|=7\). Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa

Wykaż, że liczba \(\underbrace{444 \ldots 4}_{20 \text { cyfr }}-\underbrace{888 \ldots 8}_{10 \text { cyfr }}\) jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(n\) suma \(12+1212+121212+\ldots+\underbrace{121212 \ldots 12}_{n \text { grup }(12)}\) jest równa \(\frac{4}{33} \cdot \frac{100^{n+1}-99 n-100}{99}\).

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(n\) suma \(3+33+333+\ldots+\underbrace{333 \ldots 3}_{n \text { cyfr }}\) jest równa \(\frac{10^{n+1}-9 n-10}{27}\).

Oblicz pochodną funkcji:

• \(f(x)=e^{\large{5\arcsin (x^3-1) }}\)
• \(f(x)=\ln \left(\frac{\operatorname{arcctg}x }{e^x}\right)\)
• \(f(x)=\sqrt[7]{3x^5+\arcsin(1-x^2)}\)

Oblicz pochodną funkcji:

• \(f(x)=\operatorname{ctg}\left(x^{2}+1\right)\)
• \(f(x)=\operatorname{arcctg} e^{x}\)
• \(f(x)=\arcsin (6 x)\)
• \(f(x)=\left(4 \sin { }^{2} x-x\cdot e^x\right)^{-3}\)

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt \(A B C D\). Dlugości boków \(A B\) i \(B C\) oraz przekątnej \(A C\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej tego walca do pola jego podstawy (rozpatrz dwa przypadki).

Parabolę będącą wykresem funkcji \(f(x)=x^2+7\) przesunięto o wektor postaci \(\overrightarrow{w}=[t,t] \) tak, że odległość wierzchołka otrzymanej paraboli od początku układu współrzędnych jest równa \(5\). Podaj współrzędne wektora przesunięcia.

W tym nagraniu pokazuję dwie metody rozwiązywania nierówności z wartościami bezwzględnymi, na przykładach nierówności:

• \(|x-2|+|x+1|\lt 5\)
• \(|2x - 5| \le |x + 4|- 2x + 2\)

Macierze kwadratowe \(A\) i \(B\) są stopnia \(3\) oraz \(\operatorname{det}(A)=2\) i \(\operatorname{det}(B)=4\). Obliczy:

• \(\operatorname{det}\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^5\right]\)
• \(\operatorname{det}\Bigl[A^4(-B)\Bigl]\)

W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem parku przedstawiono poniżej na rysunku. Tomek znajduje się w punkcie \(A\) miasta i chce dojechać samochodem najkrótszą drogą do punktu \(B\).

Pewna choroba dotyka \(0,2 \%\) całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe \(0,99\). Ponadto wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe \(0,98\).
Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie choroby.

Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że \(40 \%\) rozegranych z synem partii wygrywa.

Niech \(n\) będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru \(\mathbb{M}=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 3 n+1\}\) losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie \(A\) odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru \(\mathbb{M}\) trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem krawędzi \(C G\) tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej). \[ |P G|=|P C| \]

Dany jest trapez prostokątny \(A B C D\) o kątach prostych przy wierzchołkach \(A\) i \(D\). Ramię \(B C\) trapezu ma długość \(5\) . W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(2\). Punkt \(P\) jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy \(A B\) tego trapezu (zobacz rysunek).

Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt \(S\) pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie \(P\) położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości \(H_{0}\) metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy \(B\) znajdującej się dokładnie w połowie drogi na szczyt na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości \(H_{1}\) metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości \(H_{2}\) metrów n.p.m. (zobacz rysunek 1.). Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu \(P\) do \(B\) na wycinku koła.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach \(2 x+y-4 m-4=0\) oraz \(x-3 y+5 m+5=0\) przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych \(\left(x_{P}, y_{P}\right)\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) trapez \(A B C D\) jest wpisany w okrąg o środku w punkcie \(S=(19,-11)\) i promieniu \(17 \sqrt{2}\). Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek \(A B\) jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna \(A C\) trapezu \(A B C D\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=x\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) czworokąt \(A B C D\) jest równoległobokiem takim, że \(\overrightarrow{B D}=[-21,-7]\) i \(\overrightarrow{D C}=[15,8]\).

Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości \(A, B\) i \(C\) oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele" i przemieszczał się z prędkością \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze" i przemieszczał się z prędkością \(2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).

Firma \(X\) wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością \(Q\) produktu \(D\), jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną \(P\) produktu jest następujący: \[ P(Q)=90-0,1 Q \quad \text { dla } Q \in[0,900] \] Koszty \(K\) wytworzenia produktu D zależą od ilości \(Q\) wytwarzanego produktu następująco: \[ K(Q)=0,002 Q^{3}+Q^{2}+29,9985 Q+50 \] gdzie \(K\) jest kosztem produkcji w tys. zł.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(A B C D E\) punkt \(O\) jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy \(A B C D\) do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy \(1: 5\). Przez przekątną \(A C\) podstawy i środek \(S\) krawędzi bocznej \(B E\) poprowadzono płaszczyznę. Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \[ a_{n}=(n+5)^{2} \cdot\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2 p+2}{(n+2)(n+3)}\right) \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla \(n \geq 1\), jest spełniony warunek \[ \frac{a_{5}+a_{3}}{a_{3}}=\frac{29}{25} \] Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(6\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{6}-2 x^{4}-x^{3}+1\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2 x-3}{x+2}+4 \log _{\frac{1}{2}} x\) dla każdego \(x\gt 0\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{4}+0,5 \cdot(2 x+1)^{4}\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili \(t=0\) znajduje się on w punkcie \(\mathcal{O}\) oddalonym od szczytu o \(4\) km, a położenie \(x\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością \[x(t)=-t^{3}+16,5 t^{2}+180 t\quad \text{dla}\quad t \in[0,24]\] gdzie \(x\) jest wyrażone w metrach, a \(t\)-w godzinach.
Oś \(\mathcal{O} x\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.

Cztery miasta \(A, B, C\) i \(D\) znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x}{x+1}\) dla każdego \(x \in(-1,+\infty)\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=p x^{2}+(p-1) x+1-2 p\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) określony wzorem \(a_{n}=n^{2}-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) jest

Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku. Funkcje \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco: \[y=g(x)=f(x+2)\qquad y=h(x)=f(x)+2\] Na rysunkach A–F przedstawiono wykresy różnych funkcji – w tym wykresy funkcji \(g\) oraz \(h\).

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases}x+4 & \text { dla } x \in[-8,0] \\ 4 & \text { dla } x \in(0,4] \\ -2 x+12 & \text { dla } x \in(4,6)\end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

• Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(............\) .
• Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(............\) .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \(............\) .
• Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=4\) jest przedział \(............\) .

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3 x^{2}+2 x+m\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(m\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera. Funkcja \(f\)

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2 x-6 & \text { dla } x \leq 2 \\ x-4 & \text { dla } x\gt 2 \end{array}\right. \] Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2-b-2 \sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\). Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+7) x+5\) oraz \(g(x)=3x\) nie maja punktów wspólnych dla

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(-3\)	\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(2\)	\(1\)

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(O y\).	P	F
Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\).	P	F

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{-3 x+41}{x-13}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 13\).

Wielomian \(W\) jest określony wzorem \(W(x)=(x-1)\left(x^{2}-m x+m-1\right)\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Dany jest układ równań \[ \left\{\begin{array}{l} m x+y=m^{2} \tag{1}\\ 4 x+m y=8 \end{array}\right. \] z niewiadomymi \(x\) i \(y\) oraz parametrem \(m \in \mathbb{R}\).

Dane są liczby \(a=\left(\log_{\sqrt{5}} 2\right) \cdot \log _{2} 25\) i \(b=\frac{\log_{5} 6}{\log_{5} 8}\).

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu wielomianu \(W\) określonego wzorem \[ W(x)=\frac{1}{8} x^{3}-2 x^{2}+\frac{67}{8} x-3 \] dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16 \pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\). Objętość tego walca jest równa

Ze zbioru sześciu liczb \(\{1,2,3,4,5,6\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(A B C D\) przecinają się w punkcie \(S=\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)\). Bok \(A B\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-2\), a bok \(A D\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=3 x-6\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABP\), w którym \(|AP|=|BP|\). Wierzchołek \(P\) leży na osi \(O x\) układu współrzędnych.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\), a krawędź podstawy ma długość równą \(6 \sqrt{3}\).

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trapez \(A B C D\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,15)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(3x-y+10=0\). Bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7), C=(6,9)\) i \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\).

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\).

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) określony równaniem: \[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \] 1. Ṡrodek \(S\) okręgu \(\mathcal{O}\) ma współrzędne 2. Promień \(r\) okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy

Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50^{\circ}\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt wpisany \(BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej. Miara kąta wpisanego \(BCA\) jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\) o bokach \(|A C|=12,|B C|=5,|A B|=13\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

Rozwiąż nierówność \[(3 x-4)(x-1)\lt x\]

Układ równań \(\left\{\begin{array}{c}x+2 y=1 \\ -4 x-8 y=-4\end{array}\right.\)

Punkt \(S\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(ABC\). Długość odcinka \(SA\) jest równa \(10\). Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do boku \(B C\) jest równa

Dana jest nierówność \[ \frac{2 x-1}{2}-\frac{x+2}{3} \geq \frac{1}{6} \]

Dane jest równanie \[ \frac{2}{2 x+1}=\frac{x-1}{x+2} \]

Dane są liczby \(a=\log _2(3 \sqrt{5}+\sqrt{13})\) oraz \(b=\log _2(3 \sqrt{5}-\sqrt{13})\). Liczba \(a+b\) jest równa

Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{2 x^2}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x}\).

Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).	P	F
Jeżeli wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona, to \(W(x)=\frac{2 x}{x+2}\).	P	F

Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).

Liczba \(|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|\) jest równa

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\).

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Wartość wyrażenia \(2024:\left(1-\frac{1}{2025}\right)-\left(1-\frac{2025}{2024}\right): \frac{1}{2024}\) jest równa

Sklep handluje jabłkami dostarczonymi przez dwóch producentów. Wśród jabłek dostarczonych przez producenta pierwszego \(5\%\) jabłek jest popsutych, a wśród jabłek dostarczonych przez producenta drugiego \(10\%\) jabłek jest popsutych. Sklep zamawia \(4\) razy więcej jabłek u producenta pierwszego. W tym sklepie zostało kupione jedno jabłko. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że jabłko pochodzi od pierwszego producenta, jeżeli nie było popsute.

Z dwóch kostek jedna jest symetryczna, a dla drugiej prawdopodobieństwo otrzymania \(6\) jest równy \(\frac{1}{5}\). Rzucono dwukrotnie losowo wybraną kostką i wypadły dwie szóstki. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rzucono kostką niesymetryczną.

W urnie I są \(3\) kule białe i \(2\) kule czarne, a w urnie II jest \(7\) kul białych i \(4\) kule czarne. Z urny I przekładamy losową kulę do urny II, a następnie losujemy kulę z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przełożono kulę czarną, jeśli z urny II wylosowano kulę białą.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla losowo wybranej liczby naturalnej \(n\), wyrażenie \(n^3+6\) jest podzielne przez \(7\).

Dane są dwa zbiory \(A=\{1,2,3, \ldots, 2024,2025\}\) i \(B=\{2026, 2027, \ldots, 2036,2037\}\). Rzucamy sześcienna, symetryczną kostką do gry. Jeśli wypadną mniej niż trzy oczka, losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(A\), w przeciwnym wypadku losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(B\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba \(c^2+1\) będzie podzielna przez \(10\).

Sklep sprzedaje żarówki wyprodukowane w firmach I i II, przy czym w każdej z tych firm żarówki wadliwe stanowią odpowiednio \(1 \%\) i \(4 \%\) produkcji. Wyznacz stosunek liczby \(x\) żarówek wyprodukowanych przez firmę I do liczby \(y\) żarówek wyprodukowanych przez firmę II, sprzedawanych w tym sklepie tak, aby prawdopodobieństwo kupienia żarówki wadliwej (przy losowym jej zakupie) było nie większe niż \(0{,}02\).

Wśród wyrobów firmy I i II wyroby wadliwe stanowią odpowiednio \(4\%\) i \(2\%\). Firma I dostarcza do hurtowni trzy razy więcej towaru niż firma II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo zakupiona w tej hurtowni jedna sztuka towaru okaże się dobra.

W pewnej grupie młodzieży, \(25 \%\) dziewcząt i \(60 \%\) chłopców interesuje się sportem. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba z tej grupy interesuje się sportem, wynosi \(\frac{3}{7}\). Oblicz stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców w tej grupie.

Mamy \(10\) urn. Do czterech wrzucono po \(4\) kule białe, \(4\) czarne i \(1\) niebieskiej, a do sześciu pozostałych - po \(2\) kule białe, \(3\) czarne i \(4\) niebieskie. Z losowo wybranej urny losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów.

W pierwszej urnie jest \(6\) kul białych i \(4\) czarne, w drugiej - po \(8\) kul białych i \(8\) czarnych, a w trzeciej - \(5\) kul białych i \(3\) czarne. Wybieramy losowo urnę, a z niej jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

Wśród \(10\) monet są \(3\) monety niesymetryczne, na których orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{3}\), a pozostałe monety są symetryczne. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w rzucie losowo wybraną monetą wypadnie orzeł.

Całą metodę pokażę na następujących równaniach:

• \(x^2+5x+6=0\)
• \(x^2+12x+35=0\)
• \(x^2-8x+15=0\)
• \(x^2+5x-6=0\)
• \(x^2-3x-10\)
• \(2x^2+8x-154=0\)

W I urnie są \(3\) kule czarne i \(1\) kula Biała. W II urnie są \(2\) kule czarne i \(2\) białe. W III urnie jest \(6\) kul czarnych i \(2\) kule białe. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie szóstka, to losujemy kulę z I urny. Jeżeli wypadnie czwórka lub piątka, to losujemy kulę z II urny. W przeciwnym przypadku losujemy kulę z III urny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula pochodzi z I urny, jeśli wiadomo, że jest to kula czarna.