Najnowsze filmy

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(a\) i każdej liczby dodatniej \(b\) takich, że \(a+b=1\), prawdziwa jest nierówność \[ \frac{1}{2 a+b}+\frac{1}{a+2 b} \geq \frac{4}{3} \]

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2 x+1}{x-4}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 4\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P=(x_{0}, 5)\) należy do wykresu funkcji \(f\).

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.

Oblicz granicę \[ \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{|x-3|}{x^{2}-9} \] Zapisz obliczenia.

W chwili początkowej \((t=0)\) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa \(m\) związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością \[ m(t)=a \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+b \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:
\(m\) - masa związku A wyrażona w gramach,
\(t\) - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili \(t=0\) ),
\(a, b\) - współczynniki liczbowe.

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. \(Z\) badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem \[ P(x)=(70-x)(20+x) \] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x \geq 0\) i \(x \leq 60\).

32.1	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa	\(\ \ \ \)
32.2	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy \(800\) zł, gdy liczba \(x\) jest równa	\(\ \ \ \)

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18.
Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe \(\frac{3}{5}\). Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. \(\mathrm{Na}\) osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2,4,7\) (np.: \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg} \alpha=2\) (zobacz rysunek). Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2 \sqrt{2}\). Objętość tego sześcianu jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(A B\) przecina oś \(O x\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Punkty \(A, B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Długość łuku \(A B\), na którym jest oparty kąt wpisany \(A C B\), jest równa \(\frac{1}{5}\) długości okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(A C B\) jest równa

Bok kwadratu \(A B C D\) ma długość równą \(12\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(B C\) tego kwadratu. Na odcinku \(A S\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(B P\) jest prostopadły do odcinka \(A S\).

Trzywyrazowy ciąg \((-1,2, x)\) jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg ( \(-1,2, y\) ) jest geometryczny. Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

Liczba \(1+\cos ^{2} 27^{\circ}\) jest równa

Podstawy trapezu prostokątnego \(A B C D\) mają długości: \(|A B|=8\) oraz \(|C D|=5\). Wysokość \(A D\) tego trapezu ma długość \(\sqrt{3}\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=7\) oraz \(a_{2}=13\). Wyraz \(a_{10}\) jest równy

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami kartezjańskiego układu współzędnych \((x, y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\).

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).	P	F

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m) x+4\). Liczba \(m\) jest równa

Wielomian \(W(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=(2-3 x)^{2}\) oraz \(G(x)=3 x-2\). Suma \(a+b+c+d\) współczynników wielomianu \(W\) jest równa ............ .

Rozwiąż równanie \[ 4 x^{3}-12 x^{2}-x+3=0 \] Zapisz obliczenia.

Układ równań \(\left\{\begin{array}{c}x-2 y=3 \\ -4 x+8 y=-12\end{array}\right.\)

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od: \((-1),\ 0\) i \(1\), wartość wyrażenia \(\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1} \cdot \frac{x+1}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(5 n^{3}-5 n\) jest podzielna przez \(30\).

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \[ \frac{3 x-5}{12}<\frac{1}{3} \] jest równa

Liczba \((2 \sqrt{10}+\sqrt{2})^{2}\) jest równa

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6 \%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Liczba \(\log _{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log _{3}\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

Liczba \(2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

Podaj zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji \(f\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem. Naszkicuj tę parabolę.

Prosta \(y=3\) przecina parabolę \(y=ax^2\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz \(a\), jeśli:

Punkt \(P\) należy do wykresu funkcji \(f(x)=ax^2\). Oblicz wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=2\).

Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)\) o dziedzinie \(D\). Podaj zbiór wartości oraz określ wartość największą oraz najmniejszą dla tej funkcji.

Podaj zbiór rozwiązań nierówności, korzystając z odpowiednich wykresów

Wyznacz trzy punkty o współrzędnych wymiernych należące do wykresu funkcji wykładniczej \(f\). Naszkicuj wykres funkcji \(f\).

Do wykresu funkcji wykładniczej \(f(x)=a^x\) należy punkt \(P\). Określ monotoniczność tej funkcji.

Punkt \(P=(2,25)\) należy do wykresu funkcji wykładniczej \(f(x)=a^x\). Czy punkt \(B\) też należy do wykresu funkcji \(f\)?

Oblicz wartości funkcji \(f\) dla \(x \in\left\{3, -2, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right\}\).

Zapisz liczby \(x, y, z\) w kolejności od najmniejszej do największej:

Pan Jan sprzedał w swoim sklepie \(120 \mathrm{~kg}\) truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach, \(10 \%\) masy truskawek - w średnich, a pozostałe truskawki w małych opakowaniach. W tabeli podano informacje dotyczące sprzedaży truskawek w sklepie pana Jana.

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek).
Krawędź sześcianu ma długość \(10 \mathrm{~cm}\). Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(9 \mathrm{~cm}\), a jego objętość jest równa \(324 \mathrm{~cm}^{3}\).

Ela i Ania dostały w prezencie po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów. Ela ułożyła \(\frac{2}{5}\) swoich puzzli, a Ania \(\frac{1}{3}\) swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie \(440\) elementów.

Prostokąt \(ABCD\) podzielono na trzy trójkąty: \(AED, ACE, ABC\) (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta \(AED\) oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta \(ACE\), o takiej samej mierze \(\alpha\). Oblicz pole trapezu \(ABCE\). Zapisz obliczenia.

W trójkącie prostokątnym \(A B C\) przyprostokątną \(A C\) wydłużono o \(7 \mathrm{~cm}\), a przyprostokątną \(A B\) wydłużono o \(12 \mathrm{~cm}\) i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny \(A D E\) o polu równym \(200 \mathrm{~cm}^{2}\) (zobacz rysunek).

Przyprostokątna trójkąta \(A D E\) jest równa \(20 \mathrm{~cm}\).	P	F
Pole trójkąta \(A B C\) jest równe \(52 \mathrm{~cm}^{2}\).	P	F

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe \(P\), a jedna ściana boczna ma pole równe \(\frac{2}{9} P\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.

Na wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby. Pole pomalowanej powierzchni jest wprost proporcjonalne do ilości zużytej farby.

\(18\) litrów tej farby wystarczy na pomalowanie \(180 \mathrm{~m}^{2}\) powierzchni.	P	F
Na pomalowanie \(125 \mathrm{~m}^{2}\) powierzchni wystarczy \(12\) litrów tej farby.	P	F

W układzie współrzędnych \((x, y)\) zaznaczono pięć punktów \(P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\) oraz \(P_{5}\) (zobacz rysunek). Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi. Punkt \(P_{1}\) ma współrzędne \((-1,-2)\). Jeżeli współrzędną \(x\) punktu \(P_{1}\) zwiększymy o \(4\), a współrzędną \(y\) tego punktu zwiększymy o \(3\), to otrzymamy współrzędne punktu

Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\) podzielony na sześć kwadratów. Stosunek długości boków \(a:b\) tego prostokąta jest równy

Wyrażenie \(x(x+4)-3(2 x-5)\) można przekształcić równoważnie do postaci

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa \(2\) godziny i \(54\) minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem o godzinie \(17:31\). Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie

Iloczyn \(3 \cdot 9^{5}\) jest równy wartości wyrażenia \(3^{11}\).	P	F
Wyrażenie \(\frac{2^{8} \cdot 2^{7}}{2^{10}}\) można zapisać w postaci \(2^{5}\).	P	F

Karolina kupiła jedno pudełko balonów. W tabeli podano informacje dotyczące kolorów balonów oraz ich liczby w tym pudełku.

Dany jest trapez \(A B C D\), w którym bok \(A B\) jest równoległy do boku \(D C\). W tym trapezie poprowadzono odcinek \(E C\) równoległy do boku \(A D\), podano miary dwóch kątów oraz oznaczono kąt \(\alpha\) (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha\) ma miarę

Dane jest równanie \[ 5 x=\frac{y}{w}, \text { gdzie } x, y, w \text { są różne od } 0 . \] Zadaniem Pawła było przekształcanie tego równania tak, aby wyznaczyć \(x, y, w\). Paweł otrzymał trzy równania:

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(12,14, k\), jest równa \(16\).

Liczba \(k\) jest równa \(22\).	P	F
Średnia arytmetyczna liczb: \(12,14, k, 11,17\), jest większa od \(16\).	P	F

Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\) zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych: \[ x=\frac{4}{5} \cdot\left(-\frac{4}{3}\right) \quad\quad\quad y=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right) \] Liczba \(y\) jest liczbą Liczba \(x\) jest od liczby \(y\).

Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:

• mianownik każdego z nich jest równy \(4\)
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby \(3\) oraz mniejszy od liczby \(5\).

Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest

Ala codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie przedstawiono, ile czasu przeznaczyła na naukę tego języka w kolejnych dniach tygodnia od poniedziałku do soboty.

Ala przez cztery dni - od poniedziałku do czwartku - na naukę języka hiszpańskiego przeznaczyła łącznie \(2\) godziny i \(10\) minut.	P	F
Na naukę języka hiszpańskiego w sobotę Ala przeznaczyła o \(40 \%\) czasu mniej niż w piątek.	P	F

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[ x^{2}-(3 m+1) \cdot x+2 m^{2}+m+1=0 \] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}, x_{2}\) spełniające warunek \[ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot\left(x_{1}+x_{2}-3\right) \leq 3 m-7 \]

Rozwiąż równanie \[ \sin (4 x)-\sin (2 x)=4 \cos ^{2} x-3 \] w zbiorze \([0,2 \pi]\). Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) środek \(S\) okręgu o promieniu \(\sqrt{5}\) leży na prostej o równaniu \(y=x+1\). Przez punkt \(A=(1,2)\), którego odległość od punktu \(S\) jest większa od \(\sqrt{5}\), poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(B\) i \(C\). Pole czworokąta \(ABSC\) jest równe \(15\).

Dany jest kwadrat \(A B C D\) o boku długości \(a\). Punkt \(E\) jest środkiem boku \(C D\). Przekątna \(B D\) dzieli trójkąt \(A C E\) na dwie figury: \(A G F\) oraz \(C E F G\) (zobacz rysunek).

Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa \(105\). Liczby \(x, y\) oraz \(z\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Dany jest trójkąt \(A B C\), który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta \(ABC\) jest dwa razy większa od miary kąta \(BAC\). \[ |A C|^{2}=|B C|^{2}+|A B| \cdot|B C| \]

Wykaż, że jeżeli \(\log _{5} 4=a\) oraz \(\log _{4} 3=b\), to \(\log _{12} 80=\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}\).

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[ f(x)=\frac{x^{3}-3 x+2}{x} \] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P\), o pierwszej współrzędnej równej \(2\), należy do wykresu funkcji \(f\). Prosta o równaniu \(y=a x+b\) jest styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\).

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż \(36 \%\) tłuszczu, jest równe \(0{,}01\). Kontroli poddajemy \(10\) losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Oblicz granicę \[ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}} \] Zapisz obliczenia.

W chwili początkowej \((t=0)\) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa \(80^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa \(20^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura \(T\) tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością \[ T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right) \cdot k^{-t}+T_{z} \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:
\(T\) - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(t\) - czas wyrażony w minutach, liczony od chwill początkowej,
\(T_{p}\) - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(T_{z}\) - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(k\) - stała charakterystyczna dla danej ciecz.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.
Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).
Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki.
Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K=\{5,6,7,8,9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

\(\mathrm{Na}\) diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(9\). Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ c\), jest równa

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1,\ 3,\ 6,\ 8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Ostrosłup \(F_{1}\) jest podobny do ostrosłupa \(F_{2}\).
Objętość ostrosłupa \(F_{1}\) jest równa \(64\).
Objętość ostrosłupa \(F_{2}\) jest równa \(512\). Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{2}\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{1}\) jest równy ...........

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} & k: y=(m+1) x+7 \\ & l: y=-2 x+7 \end{aligned} \] Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest równoległobok \(A B C D\), w którym \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(10,2)\). Przekątne \(A C\) oraz \(B D\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).

Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^{\circ}\). Pole tego równoległoboku jest równe

W trójkącie \(A B C\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(A C B\) ma miarę \(42^{\circ}\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(B A S\) jest równa

Liczba \(\sin ^{3} 20^{\circ}+\cos ^{2} 20^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}\) jest równa

Dany jest trójkąt \(K L M\), w którym \(|K M|=a,|L M|=b\) oraz \(a \neq b\). Dwusieczna kąta \(K M L\) przecina bok \(K L\) w punkcie \(N\) takim, że \(|K N|=c\), \(|N L|=d\) oraz \(|M N|=e\) (zobacz rysunek). W trójkącie \(K L M\) prawdziwa jest równość

Ciąg arytmetyczny \(\left(a_{n}\right)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

W kartezjańskim układzie wspórzędnych \((x, y)\) zaznaczono kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha=-3\) oraz \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\) (zobacz rysunek). Prawdziwe są zależności: ............. oraz .............. .

Trzywyrazowy ciąg \((12,6,2 m-1)\) jest geometryczny. Ten ciąg jest

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Pierwszy wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \(\left(a_{n}\right)\) są dodatnie.	P	F

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(-2 k+3) x+k-1\), gdzie \(k \in \mathbb{R}\). Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału

Funkcje liniowe \(f\) oraz \(g\), określone wzorami \(f(x)=3 x+6\) oraz \(g(x)=a x+7\), mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(g\) jest równy

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego \(z\) poniższych układów równań A-D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Rozwiąż równanie \[ x^{3}-2 x^{2}-3 x+6=0 \] Zapisz obliczenia.

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło \(5 \%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10 \%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60 \%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Równanie \(\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dany jest wielomian \(W(x)=3 x^{3}+6 x^{2}+9 x\).

Wielomian \(W\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=3 x\) i \(G(x)=x^{2}+2 x+3\).	P	F
Liczba \((-1)\) jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\).	P	F

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2 a+b)^{2}-(2 a-b)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ 1-\frac{3}{2} x<\frac{2}{3}-x \] jest przedział

Liczba \(\log _{\sqrt{3}} 9\) jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ 1-\frac{3}{2} x<\frac{2}{3}-x \] jest przedział

Dana jest nierówność \[ |x-1| \geq 3 \]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(3m+3)x+2m^2+2m=0\] ma dwa różne rozwiązania \(x_1, x_2\), takie, że ciąg \((x_1, x_2, 12)\) jest arytmetyczny.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12\) dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18\) dm.