Najnowsze filmy

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt \(A B C D\). Dlugości boków \(A B\) i \(B C\) oraz przekątnej \(A C\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej tego walca do pola jego podstawy (rozpatrz dwa przypadki).

Parabolę będącą wykresem funkcji \(f(x)=x^2+7\) przesunięto o wektor postaci \(\overrightarrow{w}=[t,t] \) tak, że odległość wierzchołka otrzymanej paraboli od początku układu współrzędnych jest równa \(5\). Podaj współrzędne wektora przesunięcia.

W tym nagraniu pokazuję dwie metody rozwiązywania nierówności z wartościami bezwzględnymi, na przykładach nierówności:

• \(|x-2|+|x+1|\lt 5\)
• \(|2x - 5| \le |x + 4|- 2x + 2\)

Macierze kwadratowe \(A\) i \(B\) są stopnia \(3\) oraz \(\operatorname{det}(A)=2\) i \(\operatorname{det}(B)=4\). Obliczy:

• \(\operatorname{det}\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^5\right]\)
• \(\operatorname{det}\Bigl[A^4(-B)\Bigl]\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach \(2 x+y-4 m-4=0\) oraz \(x-3 y+5 m+5=0\) przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych \(\left(x_{P}, y_{P}\right)\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) trapez \(A B C D\) jest wpisany w okrąg o środku w punkcie \(S=(19,-11)\) i promieniu \(17 \sqrt{2}\). Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek \(A B\) jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna \(A C\) trapezu \(A B C D\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=x\).

Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości \(A, B\) i \(C\) oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele" i przemieszczał się z prędkością \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze" i przemieszczał się z prędkością \(2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).

Firma \(X\) wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością \(Q\) produktu \(D\), jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną \(P\) produktu jest następujący: \[ P(Q)=90-0,1 Q \quad \text { dla } Q \in[0,900] \] Koszty \(K\) wytworzenia produktu D zależą od ilości \(Q\) wytwarzanego produktu następująco: \[ K(Q)=0,002 Q^{3}+Q^{2}+29,9985 Q+50 \] gdzie \(K\) jest kosztem produkcji w tys. zł.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(A B C D E\) punkt \(O\) jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy \(A B C D\) do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy \(1: 5\). Przez przekątną \(A C\) podstawy i środek \(S\) krawędzi bocznej \(B E\) poprowadzono płaszczyznę. Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \[ a_{n}=(n+5)^{2} \cdot\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2 p+2}{(n+2)(n+3)}\right) \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla \(n \geq 1\), jest spełniony warunek \[ \frac{a_{5}+a_{3}}{a_{3}}=\frac{29}{25} \] Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(6\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{6}-2 x^{4}-x^{3}+1\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2 x-3}{x+2}+4 \log _{\frac{1}{2}} x\) dla każdego \(x\gt 0\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{4}+0,5 \cdot(2 x+1)^{4}\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili \(t=0\) znajduje się on w punkcie \(\mathcal{O}\) oddalonym od szczytu o \(4\) km, a położenie \(x\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością \[x(t)=-t^{3}+16,5 t^{2}+180 t\quad \text{dla}\quad t \in[0,24]\] gdzie \(x\) jest wyrażone w metrach, a \(t\)-w godzinach.
Oś \(\mathcal{O} x\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.

Cztery miasta \(A, B, C\) i \(D\) znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x}{x+1}\) dla każdego \(x \in(-1,+\infty)\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=p x^{2}+(p-1) x+1-2 p\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) określony wzorem \(a_{n}=n^{2}-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) jest

Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku. Funkcje \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco: \[y=g(x)=f(x+2)\qquad y=h(x)=f(x)+2\] Na rysunkach A–F przedstawiono wykresy różnych funkcji – w tym wykresy funkcji \(g\) oraz \(h\).

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases}x+4 & \text { dla } x \in[-8,0] \\ 4 & \text { dla } x \in(0,4] \\ -2 x+12 & \text { dla } x \in(4,6)\end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

• Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(............\) .
• Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(............\) .
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \(............\) .
• Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=4\) jest przedział \(............\) .

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3 x^{2}+2 x+m\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(m\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera. Funkcja \(f\)

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2 x-6 & \text { dla } x \leq 2 \\ x-4 & \text { dla } x\gt 2 \end{array}\right. \] Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2-b-2 \sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\). Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+7) x+5\) oraz \(g(x)=3x\) nie maja punktów wspólnych dla

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(-3\)	\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(2\)	\(1\)

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(O y\).	P	F
Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\).	P	F

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{-3 x+41}{x-13}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 13\).

Wielomian \(W\) jest określony wzorem \(W(x)=(x-1)\left(x^{2}-m x+m-1\right)\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Dany jest układ równań \[ \left\{\begin{array}{l} m x+y=m^{2} \tag{1}\\ 4 x+m y=8 \end{array}\right. \] z niewiadomymi \(x\) i \(y\) oraz parametrem \(m \in \mathbb{R}\).

Dane są liczby \(a=\left(\log_{\sqrt{5}} 2\right) \cdot \log _{2} 25\) i \(b=\frac{\log_{5} 6}{\log_{5} 8}\).

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu wielomianu \(W\) określonego wzorem \[ W(x)=\frac{1}{8} x^{3}-2 x^{2}+\frac{67}{8} x-3 \] dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16 \pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\). Objętość tego walca jest równa

Ze zbioru sześciu liczb \(\{1,2,3,4,5,6\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(A B C D\) przecinają się w punkcie \(S=\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)\). Bok \(A B\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-2\), a bok \(A D\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=3 x-6\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABP\), w którym \(|AP|=|BP|\). Wierzchołek \(P\) leży na osi \(O x\) układu współrzędnych.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\), a krawędź podstawy ma długość równą \(6 \sqrt{3}\).

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trapez \(A B C D\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,15)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(3x-y+10=0\). Bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7), C=(6,9)\) i \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\).

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\).

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) określony równaniem: \[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \] 1. Ṡrodek \(S\) okręgu \(\mathcal{O}\) ma współrzędne 2. Promień \(r\) okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy

Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50^{\circ}\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt wpisany \(BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej. Miara kąta wpisanego \(BCA\) jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\) o bokach \(|A C|=12,|B C|=5,|A B|=13\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

Rozwiąż nierówność \[(3 x-4)(x-1)\lt x\]

Układ równań \(\left\{\begin{array}{c}x+2 y=1 \\ -4 x-8 y=-4\end{array}\right.\)

Punkt \(S\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(ABC\). Długość odcinka \(SA\) jest równa \(10\). Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do boku \(B C\) jest równa

Dana jest nierówność \[ \frac{2 x-1}{2}-\frac{x+2}{3} \geq \frac{1}{6} \]

Dane jest równanie \[ \frac{2}{2 x+1}=\frac{x-1}{x+2} \]

Dane są liczby \(a=\log _2(3 \sqrt{5}+\sqrt{13})\) oraz \(b=\log _2(3 \sqrt{5}-\sqrt{13})\). Liczba \(a+b\) jest równa

Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{2 x^2}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x}\).

Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).	P	F
Jeżeli wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona, to \(W(x)=\frac{2 x}{x+2}\).	P	F

Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).

Liczba \(|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|\) jest równa

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\).

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Wartość wyrażenia \(2024:\left(1-\frac{1}{2025}\right)-\left(1-\frac{2025}{2024}\right): \frac{1}{2024}\) jest równa

Sklep handluje jabłkami dostarczonymi przez dwóch producentów. Wśród jabłek dostarczonych przez producenta pierwszego \(5\%\) jabłek jest popsutych, a wśród jabłek dostarczonych przez producenta drugiego \(10\%\) jabłek jest popsutych. Sklep zamawia \(4\) razy więcej jabłek u producenta pierwszego. W tym sklepie zostało kupione jedno jabłko. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że jabłko pochodzi od pierwszego producenta, jeżeli nie było popsute.

Z dwóch kostek jedna jest symetryczna, a dla drugiej prawdopodobieństwo otrzymania \(6\) jest równy \(\frac{1}{5}\). Rzucono dwukrotnie losowo wybraną kostką i wypadły dwie szóstki. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rzucono kostką niesymetryczną.

W urnie I są \(3\) kule białe i \(2\) kule czarne, a w urnie II jest \(7\) kul białych i \(4\) kule czarne. Z urny I przekładamy losową kulę do urny II, a następnie losujemy kulę z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przełożono kulę czarną, jeśli z urny II wylosowano kulę białą.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla losowo wybranej liczby naturalnej \(n\), wyrażenie \(n^3+6\) jest podzielne przez \(7\).

Dane są dwa zbiory \(A=\{1,2,3, \ldots, 2024,2025\}\) i \(B=\{2026, 2027, \ldots, 2036,2037\}\). Rzucamy sześcienna, symetryczną kostką do gry. Jeśli wypadną mniej niż trzy oczka, losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(A\), w przeciwnym wypadku losujemy liczbę \(c\) ze zbioru \(B\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba \(c^2+1\) będzie podzielna przez \(10\).

Sklep sprzedaje żarówki wyprodukowane w firmach I i II, przy czym w każdej z tych firm żarówki wadliwe stanowią odpowiednio \(1 \%\) i \(4 \%\) produkcji. Wyznacz stosunek liczby \(x\) żarówek wyprodukowanych przez firmę I do liczby \(y\) żarówek wyprodukowanych przez firmę II, sprzedawanych w tym sklepie tak, aby prawdopodobieństwo kupienia żarówki wadliwej (przy losowym jej zakupie) było nie większe niż \(0{,}02\).

Wśród wyrobów firmy I i II wyroby wadliwe stanowią odpowiednio \(4\%\) i \(2\%\). Firma I dostarcza do hurtowni trzy razy więcej towaru niż firma II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo zakupiona w tej hurtowni jedna sztuka towaru okaże się dobra.

W pewnej grupie młodzieży, \(25 \%\) dziewcząt i \(60 \%\) chłopców interesuje się sportem. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba z tej grupy interesuje się sportem, wynosi \(\frac{3}{7}\). Oblicz stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców w tej grupie.

Mamy \(10\) urn. Do czterech wrzucono po \(4\) kule białe, \(4\) czarne i \(1\) niebieskiej, a do sześciu pozostałych - po \(2\) kule białe, \(3\) czarne i \(4\) niebieskie. Z losowo wybranej urny losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów.

W pierwszej urnie jest \(6\) kul białych i \(4\) czarne, w drugiej - po \(8\) kul białych i \(8\) czarnych, a w trzeciej - \(5\) kul białych i \(3\) czarne. Wybieramy losowo urnę, a z niej jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

Wśród \(10\) monet są \(3\) monety niesymetryczne, na których orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{3}\), a pozostałe monety są symetryczne. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w rzucie losowo wybraną monetą wypadnie orzeł.

Całą metodę pokażę na następujących równaniach:

• \(x^2+5x+6=0\)
• \(x^2+12x+35=0\)
• \(x^2-8x+15=0\)
• \(x^2+5x-6=0\)
• \(x^2-3x-10\)
• \(2x^2+8x-154=0\)

W I urnie są \(3\) kule czarne i \(1\) kula Biała. W II urnie są \(2\) kule czarne i \(2\) białe. W III urnie jest \(6\) kul czarnych i \(2\) kule białe. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie szóstka, to losujemy kulę z I urny. Jeżeli wypadnie czwórka lub piątka, to losujemy kulę z II urny. W przeciwnym przypadku losujemy kulę z III urny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula pochodzi z I urny, jeśli wiadomo, że jest to kula czarna.

Na parkingu salonu samochodowego stoi \(10\) samochodów tej samej marki. Cztery samochody są czarne, trzy - srebrne, a pozostałe - granatowe. Wybieramy trzy samochody. Na ile sposobów można dokonać wyboru tak, aby wszystkie wybrane samochody były:

• w różnych kolorach,
• w tym samym kolorze?

W partii \(40\) monitorów komputerowych \(4\) są uszkodzone. Wybieramy \(3\) monitory. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru, aby:

• żaden z wybranych monitorów nie był uszkodzony,
• co najwyżej jeden z wybranych monitorów był uszkodzony?

Na ile sposobów można ustawić w kolejce:

• \(2\) kobiety i \(6\) mężczyzn tak, aby kobiety stały obok siebie,
• \(4\) kobiety i \(4\) mężczyzn tak, aby kobieta nie stała za kobietą?

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) jest równa \(12\).

Dane są dwa zbiory: \(C=\{0,4,5,7,9\}\) oraz \(D=\{1,2,3\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez \(32\) uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów	2	2	5	6	11	6

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o \(3\) większa od cyfry jedności, jest

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość \(10\). Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

Dany jest prostopadłościan \(A B C D E F G H\), w którym podstawy \(A B C D\) i \(E F G H\) są kwadratami o boku długości 6 . Przekątna \(B H\) tego prostopadłościanu tworzy z przekątną \(A H\) ściany bocznej \(A D H E\) kąt o mierze \(30^{\circ}\) (zobacz rysunek). Przekątna \(BH\) tego prostopadłościanu ma długość równą

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) odcinek o końcach \(A=(-4,7)\) oraz \(B=(6,-1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa \(12\). Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(9,11)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-1\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=2x-4\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} & k: y=(3 m-2) x-2 \\ & l: y=(2 m+4) x+2 \end{aligned} \] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=12\) oraz \(|CD|=6\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(24\). Na odcinku \(AD\) leży punkt \(E\) taki, że \(|\sphericalangle BEA|=|\sphericalangle CED|\) (zobacz rysunek).

W trójkącie prostokątnym \(A B C\) sinus kąta \(C A B\) jest równy \(\frac{3}{5}\), a przeciwprostokątna \(A B\) jest o \(8\) dłuższa od przyprostokątnej \(B C\). Długość przeciwprostokątnej \(A B\) tego trójkąta jest równa

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5,|AC|=2\) oraz \(\cos |\sphericalangle BAC|=\frac{3}{5}\). Długość boku \(BC\) tego trójkąta jest równa

Punkty \(K, L\) oraz \(M\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Miara kąta \(K S M\) jest równa \(160^{\circ}\) (zobacz rysunek). Miara kąta wpisanego \(K L M\) jest równa

Trzywyrazowy ciąg ( \(2 m-5,4,9)\) jest arytmetyczny. Ten ciąg jest

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos \alpha=\frac{24}{25}\). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem \(S_{n}=n^{2}+2 n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Trzeci wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy

Dany jest ciąg geometryczny \(\left(a_{n}\right)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), w którym \(a_{2}=2\) oraz \(a_{5}=54\). Iloraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią \(O x\) układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

Funkcja \(f\) jest określona wzorem

Pusta bańka na mleko o pojemności \(10\) litrów ma masę \(6,5 \mathrm{~kg}\). Jeden litr mleka ma masę \(1,03 \mathrm{~kg}\).
Niech \(x\) oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a \(f(x)\) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie \(x \in[0,10]\).

Funkcja \(f\) jest malejąca.	P	F
Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych.	P	F

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa

Funkcja \(f\) jest określona wzorem

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-6\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)
\(y\)	\(-3\)	\(-4\)	\(4\)	\(1\)	\(5\)	\(0\)	\(2\)

\(9.1\)	Największa wartość funkcji \(f\) jest równa
\(9.2\)	Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest równe

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{\sqrt{3}}{3} x-3\). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy ........... .

Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ \frac{3(6-x)}{17} \leq 3 \] jest przedział

Równanie \(\ \frac{x(x+5)(2-x)}{2 x+4}=0\ \) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Prawdziwe są równości: ............ oraz ............ .

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \((2 n+5)^{2}+3\) jest podzielna przez \(4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}\) jest równa

Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności \(|x+1|\lt3\) jest równa