Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
Poziom podstawowy
Wyrażenia wymierne mnożymy tak jak ułamki - licznik razy licznik i mianownik razy mianownik. Wykonaj mnożenie \(\frac{x^2-4}{x-1}\cdot \frac{x-3}{x-2}\)
Wyrażenia wymierne dzielimy tak jak ułamki - zamieniamy dzielenie na mnożenie odwracając dzielnik. Na początku można zapisać tak: \[\frac{x^2-4}{x-1}\cdot \frac{x-3}{x-2}=\frac{(x^2-4)(x-3)}{(x-1)(x-2)}\] Stosując wzór skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) można zapisać wyrażenie tak: \[\frac{(x-2)(x+2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}\] Teraz widać, że można skrócić ułamek dzieląc go w liczniku i mianowniku przez \((x-2)\). Żeby móc to zrobić, to trzeba określić dziedzinę: \(\mathbb{R} \backslash \{1,2\}\).
Teraz możemy skrócić wyrażenie przez \((x-2)\): \[\frac{(x-2)(x+2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(x+2)(x-3)}{x-1}\] Na koniec można ewentualnie wymnożyć nawiasy w liczniku, otrzymując postać: \[\frac{x^2-x-6}{x-1}\] Ostateczny wynik mnożenia to: \(\frac{x^2-x-6}{x-1}\), ale dziedzina, to cały czas: \(x\ne 1\) i \(x \ne 2\).
Teraz możemy skrócić wyrażenie przez \((x-2)\): \[\frac{(x-2)(x+2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(x+2)(x-3)}{x-1}\] Na koniec można ewentualnie wymnożyć nawiasy w liczniku, otrzymując postać: \[\frac{x^2-x-6}{x-1}\] Ostateczny wynik mnożenia to: \(\frac{x^2-x-6}{x-1}\), ale dziedzina, to cały czas: \(x\ne 1\) i \(x \ne 2\).
Przed rozpoczęciem dzielenie zawsze trzeba określić dziedzinę!
Wykonaj dzielenie \(\frac{1}{x^2-9} : \frac{x-4}{2x-1}\).
Zanim wykonamy pierwsze działania, to określamy dziedzinę.
Sprawdzamy kiedy zerują się mianowniki: \[x^2-9=0\quad \lor \quad 2x-1=0\] \[x=-3\ \lor\ x=3\ \lor\ x=\frac{1}{2}\] Ale również musimy sprawdzić kiedy zeruje się całe wyrażenie \(\frac{x-4}{2x-1}\) przez które dzielimy. Takie wyrażenie jest równe \(0\), jeżeli licznik jest równy \(0\), czyli dla: \[x=4\] Zatem ostateczna dziedzina to: \(\mathbb{R} \backslash \left\{-3, \frac{1}{2}, 3, 4\right\}\).
Teraz możemy wykonać dzielenie:
Sprawdzamy kiedy zerują się mianowniki: \[x^2-9=0\quad \lor \quad 2x-1=0\] \[x=-3\ \lor\ x=3\ \lor\ x=\frac{1}{2}\] Ale również musimy sprawdzić kiedy zeruje się całe wyrażenie \(\frac{x-4}{2x-1}\) przez które dzielimy. Takie wyrażenie jest równe \(0\), jeżeli licznik jest równy \(0\), czyli dla: \[x=4\] Zatem ostateczna dziedzina to: \(\mathbb{R} \backslash \left\{-3, \frac{1}{2}, 3, 4\right\}\).
Teraz możemy wykonać dzielenie:
\[\frac{1}{x^2-9} : \frac{x-3}{2x-1}=\frac{1}{x^2-9} \cdot \frac{2x-1}{x-3}=\frac{2x-1}{(x^2-9)(x-3)}\]
Tutaj nic nie możemy skrócić, więc możemy zostawić wynik w takiej postaci (lub ewentualnie jeszcze wymnożyć wyrażenia w mianowniku, ale jeśli nie ma konieczności, to lepiej zostawić postać iloczynową). Wyrażenie \(\frac{x-1}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-1}\) dla \(x=4\) ma wartość
A.\( 0 \)
B.\( 1\frac{1}{5} \)
C.\( \frac{3}{2} \)
D.\( 6 \)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot \frac{x-2}{x}\) jest równe A.\( \frac{x^2+1}{x-2} \)
B.\( \frac{x+1}{2} \)
C.\( \frac{x^2}{(x-2)^2} \)
D.\( \frac{x+1}{x-2} \)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-3)\) i \((-2)\) wartość wyrażenia \(\frac{x+3}{x^2+4x+4}\cdot \frac{x^2+2x}{2x+6}\) jest równa wartości wyrażenia A.\( \frac{x}{2} \)
B.\( \frac{x}{4} \)
C.\( \frac{x}{2x+4} \)
D.\( \frac{x^3+3x^2}{6x^2+24x+24} \)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od: \((-1),\ 0\) i \(1\), wartość wyrażenia \(\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1} \cdot \frac{x+1}{x}\) jest równa wartości wyrażenia A.\(2 x+2\)
B.\(\frac{2 x}{x-1}\)
C.\(\frac{2 x}{x^{2}-1}\)
D.\(\frac{2 x^{3}+1}{x^{3}-1}\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie