Metoda przeciwnych współczynników

Poziom podstawowy

Ta metoda polega na

przekształceniu równań do postaci, w której przy tej samej niewiadomej będą miały przeciwne współczynniki liczbowe,
następnie dodaniu równań stronami, w wyniku czego otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą.

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników: \[ \begin{cases} x+2y=8\\ 2x-y=1 \end{cases} \]

Na początku drugie równanie pomnożymy stronami przez \(2\):
\[ \begin{cases} x+2y=8\\ 4x-2y=2 \end{cases} \] Dzięki temu, przy niewiadomej \(y\) otrzymaliśmy przeciwne współczynniki (w pierwszym równaniu \(2\), a w drugim \(-2\)). Możemy teraz dodać równania stronami, otrzymując równanie: \[\begin{split} x+4x+2y-2y&=8+2\\[6pt] 5x&=10\\[6pt] x&=2 \end{split}\] Teraz z dowolnego równania (np. \(x+2y=8\)) wyliczamy \(y\), podstawiając pod \(x\) znaną wartość:
\[ \begin{split} 2+2y&=8\\[6pt] 2y&=6\\[6pt] y&=3 \end{split} \] Czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb: \[\begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases} \]

Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \)

A.nie ma rozwiązań.

B.ma dokładnie jedno rozwiązanie.

C.ma dokładnie dwa rozwiązania.

D.ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases} \) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że

A.\( b\lt -1 \)

B.\( b=-1 \)

C.\( -1\lt b\lt 1 \)

D.\( b\ge 1 \)

Układ równań \(\begin{cases} 2x-y-3=0 \\ -4x+2y-5=0 \end{cases} \)

A.nie ma rozwiązań.

B.ma dokładnie jedno rozwiązanie.

C.ma dokładnie dwa rozwiązania.

D.ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases} \).

\(\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases} \)

Rozwiązaniem układu równań \begin{cases} 11x-11y=1 \\ 22x+22y=-1 \end{cases} jest para liczb: \(x=x_0\), \(y=y_0\). Wtedy

A.\( x_0\gt 0 \) i \(y_0 \gt 0\)

B.\( x_0\gt 0 \) i \(y_0 \lt 0\)

C.\( x_0\lt 0 \) i \(y_0 \gt 0\)

D.\( x_0\lt 0 \) i \(y_0 \lt 0\)

Poziom rozszerzony

Rozwiąż układ równań \[\begin{cases} x^2-2x+y^2=24 \\ x^2-10x+y^2-8y+40=0 \end{cases}\] Zapisz obliczenia.

\(\begin{cases} x=4 \\ y=4 \end{cases} \) lub \(\begin{cases} x=5 \\ y=3 \end{cases} \)