Metoda podstawiania

Z pierwszego równania (\(x-y=5\)) możemy wyznaczyć niewiadomą \(x\): \[x-y=5\\[6pt] x=y+5\] Teraz w drugim równaniu (\(2x+y=4\)) możemy podstawić w miejsce \(x\) wyrażenie \(y+5\): \[ 2x+y=4\\[6pt] 2(y+5)+y=4\\[6pt] 2y+10+y=4\\[6pt] 3y=-6\\[6pt] y=-2 \] Wiedząc, że \(y=-2\) możemy obliczyć \(x\) z równania: \[x=y+5=-2+5=3\] Zatem rozwiązaniem tego układu jest para liczb: \[\begin{cases} x=3\\ y=-2 \end{cases}\]

Z pierwszego równania wyliczamy \(x\), a drugie równanie przepisujemy bez zmian: \[ \begin{cases} x=8-2y\\ 2x-y=1 \end{cases} \] Teraz podstawiamy wyliczoną wartość (\(8 - 2y\)) pod \(x\) w drugim równaniu: \[ \begin{cases} x=8-2y\\ 2(8 - 2y)-y=1 \end{cases} \] Dzięki temu podstawieniu w drugim równaniu mamy już tylko niewiadomą \(y\).
Rozwiązujemy drugie równanie: \[ \begin{split} 2(8 - 2y)-y&=1\\[6pt] 16-4y-y&=1\\[6pt] -5y&=-15\\[6pt] y&=3 \end{split} \] Zatem mamy: \[ \begin{cases} x=8-2y\\ y=3 \end{cases} \] W pierwszym równaniu możemy podstawić pod \(y\) wyliczoną wartość \(3\): \[ \begin{split} x&=8-2\cdot 3\\[6pt] x&=2 \end{split} \] Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie: \[ \begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases} \]