Poziom podstawowy
Układ równań - to przynajmniej dwa równania, które mają jednocześnie zachodzić.
W szkole najczęściej rozwiązujemy układy dwóch równań z dwiema niewiadomymi (\(x\) oraz \(y\)). Rozwiązaniem takiego układu równań jest para liczb \((x,y)\), która spełnia jednocześnie obydwa równania.
Przykład układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi: \[\begin{cases} x-y=5\\ 2x+y=4 \end{cases}\] Rozwiązaniem tego układu jest para liczb: \[\begin{cases} x=3\\ y=-2 \end{cases}\] Zatem oba równania układu są spełnione, po podstawieniu liczb \(x=3\) oraz \(y=-2\): \[\begin{cases} 3-(-2)=5\\ 2\cdot 3+(-2)=4 \end{cases}\]
Przykład układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi: \[\begin{cases} x+2y=7\\ 2x-y=1 \end{cases}\] Rozwiązaniem tego układu jest para liczb: \[\begin{cases} x=\frac{9}{5}\\ y=\frac{13}{5} \end{cases}\]
Przykłady trzech różnych układów równań: \[ \begin{cases} x=y-1\\ x+y=0 \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} -x+2y=2x+1\\ 10x-6y=11 \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} 3(x+1)-4y=x\\ 3x+2y+1=0 \end{cases} \]
Układy równań mogą składać się z większej liczby równań i większej liczby niewiadomych.
Przykład układu trzech równań z trzema niewiadomymi: \[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+y+5z=0\\ x-y=z \end{cases} \]