Matura 2014 grudzień

Liczba \( 0{,}6 \) jest jednym z przybliżeń liczby \( \frac{5}{8} \). Błąd względny tego przybliżenia wyrażony w procentach jest równy

Dany jest okrąg o środku \(S=(−6,−8)\) i promieniu \(2014\). Obrazem tego okręgu w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest okrąg o środku w punkcie \(S_1\). Odległość między punktami \(S\) i \(S_1\) jest równa

Rozwiązaniami równania \((x^3−8)(x−5)(2x+1)=0\) są liczby

Cena towaru została podwyższona o \( 30\% \), a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o \( 10\% \). W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o

Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \( x \) wzorami \( f(x)=-5x+1 \) oraz \(g(x) = 5^x\). Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji wynosi

Wyrażenie \( (3x+1+y)^2 \) jest równe

Połowa sumy \(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28}\) jest równa

Równania \( y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4} \text{ oraz } y=-\frac{4}{3} \) opisują dwie proste

Na płaszczyźnie dane są punkty \( A=( \sqrt{2}, \sqrt{6} ) \text{, }\ B=(0, 0) \text{ i }\ C=(\sqrt{2}, 0)\) . Kąt \( BAC \) jest równy

Funkcja \( f \) określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie \( x \) ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji \( f \) zawiera dokładnie

Ekipa złożona z \( 25 \) pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu \( 156 \) dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu \( 100 \) dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o

Z sześcianu \( ABCDEFGH \) o krawędzi długości \( a \) odcięto ostrosłup \( ABDE \) (zobacz rysunek). Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \( A=(2, 4) \), która jest wykresem funkcji kwadratowej \( f \). Funkcja \( f \) może być opisana wzorem

Punkty \(A=(-6-2\sqrt{2},\ 4-2\sqrt{2})\), \(B=(2+4\sqrt{2},\ -6\sqrt{2})\), \(C=(2+6\sqrt{2},\ 6-2\sqrt{2})\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \( ABCD \). Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie

Liczba \( \sin 150^\circ \) jest równa liczbie

Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \( 1 \) m, a bok każdego z następnych trójkątów jest o \( 10 \) cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \( 5{,}9 \) m. Ile trójkątów przedstawia mural?

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości \( 20 \) tworzy z podstawą kąt \( 67{,}5^\circ \). Pole tego trójkąta jest równe

Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \( a \) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \( b \). Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi \( a \) jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi \( b \)?

Na okręgu o środku \( S \) leżą punkty \( A, B, C \text{ i } D \). Odcinek \( AB \) jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą \( AC \) jest równy \( 21^\circ \) (zobacz rysunek). Kąt \( \alpha \) między cięciwami \( AD \) i \( CD \) jest równy

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \( 3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x \) jest równa \( 6 \). Mediana tego zestawu jest równa

Dany jest ciąg geometyczny \( (a_n) \), w którym \( a_1=-\sqrt{2},\ a_2=2,\ a_3=-2\sqrt{2} \) . Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli \( a_{10} \), jest równy

Ciąg \( (a_n) \) jest określony wzorem \( a_n=\frac{24-4n}{n} \) dla \( n\ge 1 \). Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \( p_i \) oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia \( i \) oczek w \( i \)-tym rzucie. Wtedy

Wskaż liczbę, która spełnia równanie \( 4^x=9 \).

Rozwiąż nierówność: \( -x^2-4x+21\lt 0 \).

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).

Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze \( 100\% \) pierwiastka pozostało \( 50\% \) tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po \( x \) okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem \( y={\left ( \frac{1}{2} \right )}^{x} \). W przypadku izotopu jodu \( ^{131}I \) czas połowicznego rozpadu jest równy \( 8 \) dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z \( 1 \) g \( ^{131}I \) nie więcej niż \( 0{,}125 \) g tego pierwiastka.

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \( 3 \), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \( 3 \) daje resztę \( 1 \).

Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości \( A \) do miejscowości \( C \) przez miejscowość \( B \), która znajduje się w połowie drogi z \( A \) do \( C \). Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z \( A \) do \( B \) była równa \( 40 \) km/h, a na trasie z \( B \) do \( C \) - \( 60 \) km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z \( A \) do \( C \).

Zakupiono \( 16 \) biletów do teatru, w tym \( 10 \) biletów na miejsca od \( 1. \) do \( 10. \) w pierwszym rzędzie i \( 6 \) biletów na miejsca od \( 11. \) do \( 16. \) w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że \( 2 \) wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?

W trapezie \( ABCD\ (AB || CD) \) przekątne \( AC \text{ i } BD \) przecinają się w punkcie \( O \) takim, że \( |AO|:|OC|=5:1 \). Pole trójkąta \( AOD \) jest równe \( 10 \). Uzasadnij, że pole trapezu \( ABCD \) jest równe \( 72 \).

Punkty \( A=(3,3) \text{ i } B=(9,1) \) są wierzchołkami trójkąta \( ABC \), a punkt \( M=(1,6) \) jest środkiem boku \( AC \). Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej \( AB \) z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka \( C \).

Tworząca stożka ma długość \( 17 \), a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o \( 22 \). Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.