Matura 2014 grudzień PR

Wielomian \(W(x)=2x^3-bx^2-1\) jest podzielny przez dwumian \(x+1\). Wynika stąd, że

Okrąg o równaniu \((x+2)^2+(y-2)^2=4\) ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu

Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=x^5+5x-1\)

Każda liczba \(x\) należąca do przedziału otwartego \(x\in \left ( \frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{4} \right )\) spełnia nierówność

Funkcja \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem \(f(x)=3^{x-2}+3\). Prosta \(l\) ma równanie \(y=3{,}3\). Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji \(f\) i prosta \(l\)?

Dane są liczby \(a\), \(b\) takie, że \(a-b=4\) i \(ab=7\). Oblicz \(a^3b+ab^3\). Zakoduj w kratkach poniżej kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Cyfra	setek	dziesiątek	jedności

Długości boków prostokąta są równe \(3\) oraz \(5\). Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \left ( \frac{n^2}{n+2}-\frac{(n+2)^2}{n+444} \right )\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2}{x-4}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne 4\). Oblicz pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x=12\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji \(f\), która jest równoległa do prostej \(y=4x+7\).

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), spełniające równanie \(\sin 5x-\sin x=0\).

Niech \(P_n\) oznacza pole koła o promieniu \(\frac{1}{2^n}\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\).

Wykaż, że jeżeli \(a>b\ge 1\), to \(\frac{a}{2+a^3}\lt \frac{b}{2+b^3}\).

Wykaż, że jeżeli \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) są kątami wewnętrznymi trójkąta i \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2} \beta \lt \sin^{2} \gamma \), to \(\cos \gamma \lt 0\).

Punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\) prostokąta \(ABCD\), w którym \(AB>BC\). Punkt \(F\) leży na boku \(CD\) tego prostokąta oraz \(\sphericalangle AEF=90^\circ \). Udowodnij, że \(\sphericalangle BAE=\sphericalangle EAF\).

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.

Dany jest okrąg \(o_0\) o równaniu \((x-3)^2+(y-1)^2=1\). W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi \(o_1\), \(o_2\) styczne zewnętrznie do okręgu \(o_0\) i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległości środków okręgów \(o_1\) oraz \(o_2\).

Okno na poddaszu ma kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po \(4\) dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.