Matura 2014 sierpień

Drukuj

Poziom podstawowy

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .

Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.

A.\(|x-7|\lt 15 \)

B.\(|x-7|>15 \)

C.\(|x-15|\lt 7 \)

D.\(|x-15|>7 \)

Liczba \( \frac{1}{2}\cdot 2^{2014} \) jest równa

A.\(2^{2013} \)

B.\(2^{2012} \)

C.\(2^{1007} \)

D.\(1^{2014} \)

Liczba \( c=\log_{3}2 \). Wtedy

A.\(c^3=2 \)

B.\(3^c=2 \)

C.\(3^2=c \)

D.\(c^2=3 \)

Liczba \( {\left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )}^2+2\sqrt{15} \) jest równa

A.\(2+2\sqrt{15} \)

B.\(8 \)

C.\(2+4\sqrt{15} \)

D.\(2 \)

Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. \(10\%\) tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?

A.\(25 \)

B.\(40 \)

C.\(45 \)

D.\(55 \)

Rozwiązaniem równania \( \frac{x-5}{7-x}=\frac{1}{3} \) jest liczba

A.\(-11 \)

B.\(\frac{11}{2} \)

C.\(\frac{2}{11} \)

D.\(11 \)

Jeśli \( a=\frac{b}{c-b} \), to

A.\(b=\frac{a+1}{a\cdot c} \)

B.\(b=\frac{a\cdot c}{a+1} \)

C.\(b=\frac{a\cdot c}{a-1} \)

D.\(b=\frac{a-1}{a\cdot c} \)

Dziedziną funkcji \( f \) jest przedział

A.\(\langle 0,3 \rangle \)

B.\((0, 8 \rangle \)

C.\(\langle -3,3 \rangle \)

D.\((-3, 8 \rangle \)

Największą wartością funkcji \( f \) jest

A.\(3 \)

B.\(0 \)

C.\(-3 \)

D.\(8 \)

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem \( f(x)=(x-2)(x+4) \) .

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \( ( -\infty, -3\rangle \) , może być określona wzorem

A.\(y=(x+2)^2-3 \)

B.\(y=-(x+3)^2 \)

C.\(y=-(x-2)^2-3 \)

D.\(y=-x^2+3 \)

Funkcja liniowa \( f(x)=ax+b\ \) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że

A.\(a>0\) i \( b>0 \)

B.\(a\lt 0\) i \( b\lt 0 \)

C.\(a\lt 0\) i \( b>0 \)

D.\(a>0\) i \( b\lt 0 \)

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równa \( 35 \). Pierwszy wyraz \( a_1 \) tego ciągu jest równy \( 3 \). Wtedy

A.\(a_{10}=\frac{7}{2} \)

B.\(a_{10}=4 \)

C.\(a_{10}=\frac{32}{5} \)

D.\(a_{10}=32 \)

Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=-\frac{3^n}{4} \) dla \( n\ge 1 \). Iloraz tego ciągu jest równy

A.\(-3 \)

B.\(-\frac{3}{4} \)

C.\(\frac{3}{4} \)

D.\(3 \)

Kąt \( \alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \( 3\operatorname{tg}\alpha =2 \). Wtedy wartość wyrażenia \( \sin \alpha+\cos \alpha \) jest równa

A.\(1 \)

B.\(\frac{5\sqrt{13}}{26} \)

C.\(\frac{5\sqrt{13}}{13} \)

D.\(\sqrt{5} \)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( 8 \). Wysokość tego trójkąta jest równa

A.\(4\sqrt{3} \)

B.\(8\sqrt{3} \)

C.\(12 \)

D.\(6 \)

Punkty \( A \), \( B \) i \( C \) leżą na okręgu o środku \( O \) (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy \( AOB \) ma miarę

A.\(60^\circ \)

B.\(100^\circ \)

C.\(120^\circ \)

D.\(140^\circ \)

Odcinki \( BC \) i \( DE \) są równoległe i \( |AE|=4 \), \( |DE|=3 \) (zobacz rysunek). Punkt \( D \) jest środkiem odcinka \( AB \). Długość odcinka \( BC \) jest równa

A.\(4 \)

B.\(6 \)

C.\(8 \)

D.\(16 \)

Dane są równania czterech prostych:

Prostopadłe są proste:

A.\(l\) i \( n \)

B.\(l\) i \( m \)

C.\(k\) i \( n \)

D.\(k\) i \( m \)

Punkt \( P=(-1,0) \) leży na okręgu o promieniu \( 3 \). Równanie tego okręgu może mieć postać

A.\((x+1)^2+y^2=9 \)

B.\(x^2+\left ( y-\sqrt{2} \right )^2=3 \)

C.\((x+1)^2+(y+3)^2=9 \)

D.\((x+1)^2+y^2=3 \)

Punkty \( A=(13,-12) \) i \( C=(15,8) \) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \( ABCD \). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie

A.\(S=(2,-20) \)

B.\(S=(14,10) \)

C.\(S=(14,-2) \)

D.\(S=(28,-4) \)

Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości \( 4 \), jest równe

A.\(256\pi \)

B.\(128\pi \)

C.\(48\pi \)

D.\(24\pi \)

Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \( 81\sqrt{3} \). Objętość graniastosłupa jest równa

A.\(27 \)

B.\(27\sqrt{3} \)

C.\(243 \)

D.\(243\sqrt{3} \)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe

A.\(\frac{7}{8} \)

B.\(\frac{1}{2} \)

C.\(\frac{1}{4} \)

D.\(\frac{1}{8} \)

Średnia arytmetyczna liczb: \( x,13,7,5,5,3,2,11 \) jest równa \( 7 \). Mediana tego zestawu liczb jest równa

A.\(6 \)

B.\(7 \)

C.\(10 \)

D.\(5 \)

Rozwiąż nierówność \( -x^2-5x+14\lt 0 \).

\(x\in (-\infty ;-7)\cup (2;+\infty )\)

Rozwiąż równanie \( x^3-6x^2-11x+66=0 \).

\(x=6\) lub \(x=\sqrt{11}\) lub \(x=-\sqrt{11}\)

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \( 24 \).

Kąt \( \alpha \) jest ostry oraz \( \frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha } \).

\(\frac{2}{5}\)

Dany jest trójkąt \( ABC \), w którym \( |AC|>|BC| \). Na bokach \( AC \) i \( BC \) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \( D \) i \( E \), że zachodzi równość \( |CD|=|CE|\ \). Proste \( AB \) i \( DE \) przecinają się w punkcie \( F \) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \( |\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot |\sphericalangle AFD| \).

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.

\(a_1=2\), \(r=5\)

Miasta \( A \) i \( B \) są oddalone o \( 450 \) km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \( 75 \) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \( 18 \) km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:

prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\)
prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\)

\(v_D=72\) km/h, \(v_L=90\) km/h

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \( 22 \), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)

Zbiór \( M \) tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: \( 1, 2, 3, 4, 5 \). Ze zbioru \( M \) losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od \( 20 \), w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.

\(\frac{3}{10}\)