Krotność pierwiastka wielomianu

Drukuj

Poziom rozszerzony

Do wyznaczenia pierwiastków wielomianu oraz ich krotności, należy rozłożyć wielomian na iloczyn czynników.
Wówczas krotność pierwiastka wielomianu, to najwyższa potęga nawiasu, który zeruje dany pierwiastek.

Przykład 1.

Dla wielomianu zapisanego w postaci iloczynowej łatwo jest odczytać pierwiastki i ich krotności. Na przykład:

Przykład 2.

Dla wielomianu \(w(x) = (x + 2)^7(x + 11)^3(x - 5)^2\) wyznacz pierwiastki oraz ich krotności.

Rozwiązanie:

Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując równanie wielomianowe: \[ (x + 2)^7(x + 11)^3(x - 5)^2 = 0\\[6pt] x + 2 = 0 \quad \lor \quad x + 11 = 0 \quad \lor \quad x - 5 = 0\\[6pt] x = -2 \quad \lor \quad x = -11 \quad \lor \quad x = 5 \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Przykład 3.

Dla wielomianu \(w(x) = x^3(x - 1)^{10}(x + 2)^9(x + 1)^8\) wyznacz pierwiastki i określ ich krotności.

Rozwiązanie:

Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując równanie wielomianowe:

\[ x^3(x - 1)^{10}(x + 2)^9(x + 1)^8 = 0\\[6pt] x = 0 \ \lor \ x - 1 = 0 \ \lor \ x + 2 = 0\ \lor \ x + 1 = 0\\[6pt] x = 0 \ \lor \ x = 1 \ \lor \ x = -2\ \lor \ x = -1 \]

Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Przykład 4.

Wyznacz pierwiastki wielomianu \(w(x) = x^2(x - 1)(x + 1)\) i określ ich krotności.

Rozwiązanie:

Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując równanie wielomianowe: \[ x^2(x - 1)(x + 1) = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x - 1 = 0 \quad \lor \quad x + 1 = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x = 1 \quad \lor \quad x = -1 \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Przykład 5.

Wyznacz pierwiastki wielomianu \(w(x) = x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 12x\) i określ ich krotności.

Rozwiązanie:

Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując równanie wielomianowe:

\[ x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 12x = 0\\[6pt] x(x^3 + 2x^2 - 6x - 12) = 0\\[6pt] x(x^2(x + 2) - 6(x + 2)) = 0\\[6pt] x(x + 2)(x^2 - 6) = 0\\[6pt] x(x + 2)(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) = 0\\[6pt] x = 0 \ \lor \ x +2 = 0 \ \lor \ x -\sqrt{6} = 0\ \lor \ x +\sqrt{6} = 0\\[6pt] x = 0 \ \lor \ x = -2 \ \lor \ x = \sqrt{6}\ \lor \ x = -\sqrt{6} \]

Teraz zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej i określamy krotności pierwiastków: