Definicja
Implikacja - to dwa zdania połączone w następujący sposób:
jeżeli (zdanie 1)
to (zdanie 2).
Implikację w matematyce oznaczamy symbolem \(\Rightarrow \).
Implikację zdań: jeżeli \(p\) to \(q\) zapisujemy tak: \(p \Rightarrow q\).
Implikacja dwóch zdań \(p \Rightarrow q\) jest fałszywa tylko wtedy, gdy zdanie \(p\) jest prawdziwe, a zdanie \(q\) jest fałszywe.
Wszystkie możliwe przypadki dla implikacji zestawiliśmy w poniższej tabelce.
| \(p\) | \(q\) | \(p \Rightarrow q\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) |
Zdanie \(p\) nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie \(q\) - jej następnikiem.
Z powyższej tabelki widzimy, że z prawdy może wynikać tylko prawda, a z fałszu - cokolwiek.
"Jeżeli 2+2=4, to 2-2=0."
To zdanie jest implikacją dwóch zdań: "2+2=4" oraz "2-2=0".
Oba zdania są prawdziwe, zatem ich implikacja również jest prawdziwa. \[ \underbrace{ \underbrace{\text{2+2=4}}_{\text{prawda }(1)} \text{ to } \underbrace{\text{2-2=0.}}_{\text{prawda } (1)} }_{\text{prawda }(1)} \]
"Jeżeli liczba 60 jest liczbą parzystą, to liczba 62 jest ujemna."
To zdanie jest implikacją dwóch zdań: "Liczba 60 jest liczbą parzystą" oraz "liczba 62 jest ujemna.".
Pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie jest fałszywe, zatem implikacja tych dwóch zdań jest fałszywa (z prawdy nie może wynikać fałsz!). \[ \underbrace{ \underbrace{\text{Liczba 60 jest liczbą parzystą}}_{\text{prawda }(1)} \text{ to } \underbrace{\text{liczba 62 jest ujemna.}}_{\text{fałsz } (0)} }_{\text{fałsz }(0)} \]
"Jeżeli liczba 62 jest ujemna, to liczba 60 jest liczbą parzystą."
To zdanie jest implikacją dwóch zdań: "liczba 62 jest ujemna" oraz "liczba 60 jest liczbą parzystą.".
Pierwsze zdanie jest fałszywe, a drugie zdanie jest prawdziwe, zatem implikacja tych dwóch zdań jest prawdziwa (z fałszu może wynikać prawda). \[ \underbrace{ \underbrace{\text{liczba 62 jest ujemna}}_{\text{fałsz }(0)} \text{ to } \underbrace{\text{liczba 60 jest liczbą parzystą.}}_{\text{prawda } (1)} }_{\text{prawda }(1)} \]
"Jeżeli 1=2, to 2=3."
To zdanie jest implikacją dwóch zdań: "1=2" oraz "2=3".
Oba zdania są fałszywe, zatem ich implikacja jest prawdziwa (z fałszu może wynikać fałsz). \[ \underbrace{ \underbrace{\text{1 = 2}}_{\text{fałsz }(0)} \text{ to } \underbrace{\text{2 = 3}}_{\text{fałsz } (0)} }_{\text{prawda }(1)} \]