Poziom rozszerzony
Definicja
Jeżeli funkcja \(f\) ma pochodną w każdym punkcie pewnego zbioru, to ma w tym zbiorze funkcję pochodną (zwaną krócej pochodną): \[y=f'(x)\] O funkcji \(f\) mówimy, że jest w tym zbiorze różniczkowalna. Wykaż, że funkcja \(f(x)=x^2\) jest różniczkowalna w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Funkcja jest różniczkowalna jeżeli ma pochodną w całej dziedzinie. Wystarczy zatem znaleźć funkcję pochodną.
Weźmy dowolny punkt \(x_0\in\mathbb{R} \) i obliczmy pochodną w tym punkcie: \[ \begin{split} f'(x_0)&=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} (x+x_0)=\\[6pt] &=x_0+x_0=2x_0 \end{split} \] Otrzymaliśmy wzór ogólny na pochodną funkcji \(f(x)=x^2\) w dowolnym punkcie \(x_0\): \[f'(x_0)=2x_0\] Wyznaczyliśmy zatem wzór na pochodną funkcji: \[f'(x)=2x\] Co kończy dowód tego zadania.
Wyznacz wzór na pochodną funkcji \(f(x)=ax\).
Bierzemy dowolny punkt \(x_0\in\mathbb{R} \) i liczymy pochodną w tym punkcie: \[ \begin{split} f'(x_0)&=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{ax-ax_0}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{a(x-x_0)}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} (a)= a \end{split} \] Zatem wzór na pochodną funkcji \(f(x)=ax\) jest postaci: \[f'(x)=a\]
Wyznacz wzór na pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{x}\).
Bierzemy dowolny punkt \(x_0\in\mathbb{R} \) i liczymy pochodną w tym punkcie: \[ \begin{split} f'(x_0)&=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}{(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}}{x-x_0}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})\cdot (x-x_0)}=\\[6pt] &=\lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\\[6pt] &=\frac{1}{(\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0})}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}} \end{split} \] W trzeciej linijce powyższego rachunku zostało wykonane przekształcenie w liczniku: \[ \begin{split} \sqrt{x}-\sqrt{x_0}&=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}{(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}=\\[6pt] &=\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \end{split} \] W celu uzyskania wyrażenia: \(x-x_0\), które później mogło zostać skrócone z mianownikiem.
Zatem ostatecznie wzór na pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{x}\) jest postaci: \[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Z rachunków takich jak w powyższych przykładach można wyprowadzić wzory na wszystkie pochodne z poniższej tabeli:
Wzory na pochodne wybranych funkcji
| Funkcja | Pochodna |
| \(f(x)=c\) | \(f'(x)=0\) |
| \(f(x)=ax\) | \(f'(x)=a\) |
| \(f(x)=ax^n\) | \(f'(x)=anx^{n-1}\) |
| \(f(x)=\frac{1}{x}\) | \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\) |
| \(f(x)=\sqrt{x}\) | \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
Z powyższych wzorów najważniejszy jest wzór na
pochodną funkcji potęgowej: \[(x^n)'=nx^{n-1}\] Z tego wzoru można liczyć pochodne dowolnych pierwiastków i prostych wyrażeń wymiernych.
Korzystając ze wzoru \((x^n)'=nx^{n-1}\) oraz ze wzorów: \[\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\] \[\frac{1}{x^n}=x^{-n}\] obliczymy pochodne:
\((5x^7)'=5\cdot 7x^6=35x^6\)
\(\left(\sqrt[3]{x^2}\right)'=\left((x^2)^{\frac{1}{3}}\right)'=\left(x^{\frac{2}{3}}\right)'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)
\(\left( \sqrt[7]{\sqrt[3]{x}} \right)'=\left( x^{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7}} \right)'=\left( x^{\frac{1}{21}} \right)'=\frac{1}{21}x^{-\frac{20}{21}}=\frac{1}{21\sqrt[21]{x^{20}}}\)
\(\left( \frac{2}{x^5} \right)'=(2x^{-5})'=2\cdot (-5)x^{-5-1}=-10x^{-6}\)