Poziom rozszerzony
Pochodna iloczynu funkcji i stałej
Jeżeli funkcja \(f\) ma pochodną, to dla dowolnej liczby stałej \(c\) zachodzi: \[(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)\] \(\left(5x^2\right)'=5\left(x^2\right)'=5\cdot 2x=10x\)
\(\left(3x^{-5}\right)'=3\left(x^{-5}\right)'=3\cdot (-5)x^{-6}=-15x^{-6}\)
\(\left(\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}\right)'=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}\right)'=\frac{1}{2}\left(x^{\frac{1}{3}}\right)'=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{6}x^{-\frac{2}{3}}\)
Pochodna sumy i różnicy funkcji
Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) mają pochodne, to: \[(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\] oraz \[(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)\] \(\left(x^2+5x^3\right)'=\left(x^2\right)'+\left(5x^3\right)'=2x+15x^2\)
\(\left(5x^7-2x^3\right)'=\left(5x^7\right)'-\left(2x^3\right)'=35x^6-6x^2\)
\(\left(\sqrt{x}+2x^2-13x\right)'=\left(\sqrt{x}\right)'+\left(2x^2\right)'-(13x)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+4x-13\)
Pochodna iloczynu funkcji
Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) mają pochodne, to: \[(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\] Oblicz pochodną \(\left(x^3\sqrt{x}\right)'\).
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu mamy: \[\begin{split} \left(x^3\sqrt{x}\right)'&=\left(x^3\right)'\cdot \sqrt{x}+x^3\left(\sqrt{x}\right)'=\\[6pt] &=3x^2\sqrt{x}+x^3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\\[6pt] &=3x^2\sqrt{x}+\frac{1}{2}x^2\cdot\sqrt{x}=\\[6pt] &=\frac{7}{2}x^2\sqrt{x}\\[6pt] \end{split}\] dla \(x\gt0\).
Tą pochodną można również policzyć inaczej: \[\left(x^3\sqrt{x}\right)'=\left(x^3\cdot x^{\frac{1}{2}} \right)'=\left(x^{\frac{7}{2}} \right)'=\frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}\]
Pochodna ilorazu funkcji
Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) mają pochodne, to: \[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\] Oblicz pochodną \(\left(\frac{x^5}{x+3}\right)'\)
\[\begin{split} \left(\frac{x^5}{x+3}\right)'&=\frac{\left(x^5\right)'\cdot (x+3)-x^5\cdot (x+3)'}{(x+3)^2}=\\[6pt] &=\frac{5x^4\cdot (x+3)-x^5\cdot 1}{(x+3)^2}=\\[6pt] &=\frac{5x^5+15x^4-x^5}{(x+3)^2}=\\[6pt] &=\frac{4x^5+15x^4}{(x+3)^2} \end{split}\]