Pochodna funkcji w punkcie

Załóżmy, że funkcja \(f\) jest określona w przedziale do którego należą argumenty \(x_0\) oraz \(x\).
Możemy określić:

• przyrost argumentu funkcji:\[x-x_0\] Jest to różnica argumentów \(x\) oraz \(x_0\), czyli odległość miedzy tymi argumentami.
• przyrost wartości funkcji:\[f(x)-f(x_0)\] Jest to różnica wartości funkcji \(f(x)\) oraz \(f(x_0)\), czyli odległość miedzy tymi wartościami.

Poniżej ilustracja obu przyrostów: Teraz narysujmy prostą \(y=ax+b\) przechodzącą przez punkty \(A\) i \(B\): Prosta tworzy kąt \(\alpha \) z osią \(OX\) oraz z odcinkiem długości \(x-x_0\). Z trójkąta prostokątnego można obliczyć \(\operatorname{tg} \alpha \): Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta jaki tworzy ta prosta z osią \(OX\).
Zatem: \[a=\operatorname{tg} \alpha =\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] Czyli równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) funkcji \(f\) możemy zapisać tak: \[y=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot x+b\] Popatrzmy teraz co się dzieje, gdy zbliżamy się z argumentem \(x\) do argumentu \(x_0\). Prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) dąży do prostej stycznej w punkcie \(A\). Jeżeli obliczymy granicę ilorazu różnicowego: \[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] to będzie ona równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(A\). Ten współczynnik kierunkowy nazywamy wówczas pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) i oznaczamy: \[f'(x_0)\] A teraz formalna definicja: