Jeżeli w podstawie logarytmu lub w liczbie logarytmowanej występuje wyrażenie z \(x\)-em, to musimy określić dziedzinę.
Określ dziedzinę funkcji \(f(x)=1-\log_2(10x+3)\).
Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem zakładamy, że: \[\begin{split} 10x+3&\gt 0\\[6pt] x&\gt-\frac{3}{10} \end{split}\] Zatem dziedzina funkcji to: \(x\in \left(-\frac{3}{10},+\infty \right)\).
Poziom rozszerzony
Określ dziedzinę funkcji \(f(x)=\log_{3-x^2}(2x)\).
Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem zakładamy, że: \[\begin{split} 2x&\gt 0\\[6pt] x&\gt0 \end{split}\] Podstawa logarytmu również musi być dodatnia, zatem: \[\begin{split} 3-x^2&\gt 0\\[6pt] x^2&\lt3\\[6pt] x&\in (-\sqrt{3},\sqrt{3}) \end{split}\] Ponadto podstawa logarytmu musi być różna od \(1\), czyli: \[\begin{split} 3-x^2&\ne 1\\[6pt] x^2&\ne 2\\[6pt] x\ne -\sqrt{2}\quad &\land \quad x\ne\sqrt{2} \end{split}\] Teraz musimy wziąć część wspólną wszystkich złożeń: \[ x\gt0 \quad \land \quad x\in (-\sqrt{3},\sqrt{3}) \quad \land \quad x\ne -\sqrt{2}\quad \land \quad x\ne\sqrt{2}\\[6pt] x\in (0,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\sqrt{3}) \] Zatem dziedzina funkcji to: \(x\in (0,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\sqrt{3})\).
Dziedziną funkcji \(f(x)=\log_{x+1}(4-x^2)\) jest
A.\( (-2,0)\cup (0,2) \)
B.\( (-2,-1)\cup (-1,2) \)
C.\( (-1,0)\cup (0,2) \)
D.\( (-1,2) \)
C
Dziedziną funkcji \(f(x)=\log_{\frac{2x-3}{x+3}}(x^3-x^2)\) jest: