Funkcja logarytmiczna i jej własności

Drukuj

Poziom podstawowy

Definicja

Funkcję postaci \(f(x)=\log_ax\), gdzie \(a \gt 0\) i \(a\ne 1\), określoną dla \(x\in (0; +\infty )\), nazywamy funkcją logarytmiczną.

Wykres funkcji \(f(x) = \log_ax\) zawsze przecina oś \(x\)-ów w punkcie \((1,0)\).

Wykres funkcji \(f(x) = \log_2x\) szkicujemy obliczając wartości funkcji w tabelce:

\(x\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)
\(y=\log_2x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

Jest to funkcja rosnąca, a jej zbiorem wartości jest cały zbiór \(\mathbb{R} \).

Przykłady kilku różnych funkcji logarytmicznych o podstawie \(a\gt 1\):

Narysujemy wykres funkcji \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

\(x\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)
\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-3\)

i rysujemy wykres:

Jest to funkcja malejąca, a jej zbiorem wartości jest przedział \((0, +\infty )\).

Przykłady kilku różnych funkcji logarytmicznych o podstawie \(a \lt 1\):

Własności funkcji logarytmicznej \(f(x)=\log_ax\)

Dziedzina: \(\mathbb{R}^+ \).
Zbiór wartości: \(\mathbb{R}\).
Dla \(a\gt 1\) funkcja jest rosnąca, a dla \(a\in (0,1)\) malejąca.
Funkcja jest różnowartościowa.
Miejsca zerowe: \(x = 1\).
Funkcja nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.<

Do wykresu funkcji \(f(x)=\log_4x\) nie należy punkt:

A.\( (1,0) \)

B.\( \left ( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right ) \)

C.\( (2,2) \)

D.\( (16,2) \)

Narysuj wykres funkcji \(f(x)=\log_5x\) oraz:

oblicz jej wartość dla argumentu \(\sqrt[5]{5\sqrt{125}}\),

znajdź argument dla którego funkcja przyjmuje wartość \(\frac{2}{3}\).