Poziom rozszerzony
Definicja
Dwumianem Newtona nazywamy wzór: \[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}x^0y^n \] gdzie \(\binom{n}{k} \) - to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy) i jest obliczany ze wzoru: \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \] Każdy jednomian w powyższym wzorze ma sumę wykładników równą \(n\).
Przykładowo jednomian \(\binom{n}{2}x^{n-2}y^2\): mamy sumę wykładników potęg równą: \[(n-2)+2=n\]
Jeżeli \(x\ne 0\) i \(y\ne 0\), to \(x^0=1\) oraz \(y^0=1\). Wtedy możemy zapisać wzór dwumianowy prościej: \[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n-1}xy^{n-1}+\binom{n}{n}y^n \]
Ze wzoru dwumianowego można wyprowadzać wzory skróconego mnożenia.
\[ \begin{split} (x+y)^2&=\binom{2}{0}x^2+\binom{2}{1}xy+\binom{2}{2}y^2=\\[6pt] &=\frac{2!}{0!\cdot (2-0)!}x^2+\frac{2!}{1!\cdot (2-1)!}xy + \frac{2!}{2!\cdot (2-2)!}y^2=\\[6pt] &=\frac{2}{2}x^2+\frac{2}{1}xy+\frac{2}{2}y^2=\\[6pt] &=x^2+2xy+y^2 \end{split} \]
Rachunek w powyższym przykładzie może wyglądać na skomplikowany, ale w istocie taki nie jest. Gdy umiemy sprawnie liczyć symbole Newtona \(\binom{n}{k} \), to taki rachunek możemy wykonać dużo szybciej:
\[ \begin{split} (x+y)^3&=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2y+\binom{3}{2}xy^2+\binom{3}{3}y^3 =\\[6pt] &=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \end{split} \]
Wzór tak samo działa jeśli zamiast literek występują liczby:
Rozpisz wyrażenie \((x+7)^3\) stosując dwumian Newtona.
\[ \begin{split} (x+7)^3 &=\binom{3}{0}x^3\cdot 7^0+\binom{3}{1}x^2\cdot 7^1+\binom{3}{2}x^1\cdot 7^2+\binom{3}{3}x^0\cdot7^3=\\[6pt] &=x^3+3x^2\cdot 7+3x\cdot 49+7^3=\\[6pt] &=x^3+21x^2+147x+343 \end{split} \]
Rozpisz wyrażenie \((x-11)^{10}\) stosując dwumian Newtona.
\[ \begin{split} &(x-11)^{10} =(x+(-11))^{10} =\\[6pt] &=\binom{10}{0}x^{10}\cdot (-11)^0+ \binom{10}{1}x^9\cdot (-11)^1+ \binom{10}{2}x^8\cdot (-11)^2+ \binom{10}{3}x^7\cdot (-11)^3+ \binom{10}{4}x^6\cdot (-11)^4+ \binom{10}{5}x^5\cdot (-11)^5+\\[6pt] &+\binom{10}{6}x^4\cdot (-11)^6+ \binom{10}{7}x^3\cdot (-11)^7+ \binom{10}{8}x^2\cdot (-11)^8+ \binom{10}{9}x^1\cdot 1(-11)1^9+ \binom{10}{10}x^0\cdot (-11)^{10}=\\[6pt] &=x^{10}- 10x^9\cdot 11+ \binom{10}{2}x^8\cdot 11^2- \binom{10}{3}x^7\cdot 11^3+ \binom{10}{4}x^6\cdot 11^4- \binom{10}{5}x^5\cdot 11^5+\\[6pt] &+\binom{10}{6}x^4\cdot 11^6- \binom{10}{7}x^3\cdot 11^7+ \binom{10}{8}x^2\cdot 11^8- 10x\cdot 11^9+ 11^{10} \end{split} \]
Wykaż, że liczba \(87^{99}+13^{99}\) jest podzielna przez \(25\).
Wykaż, że liczba \(2045^{2046}-1\) jest podzielna przez \(2047\).
Wykaż, że suma \(999+999^2+999^3+999^4+999^5+999^6+999^7+999^8\) jest podzielna przez \(1000\).
Niech \[S = 999 + 999^2 + 999^3 + 999^4 + 999^5 + 999^6 + 999^7 + 999^8\] Możemy zapisać \(999\) jako \(1000 - 1\). Wtedy: \[ S = (1000 - 1) + (1000 - 1)^2 + (1000 - 1)^3 + (1000 - 1)^4 + (1000 - 1)^5 + (1000 - 1)^6 + (1000 - 1)^7 + (1000 - 1)^8 \] Korzystając z rozwinięcia dwumianowego: \[(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k\] możemy zapisać każdy składnik w postaci \(1000k + (-1)^n\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą, a \(n\) to potęga, do której podnosimy \((1000 - 1)\). Zauważmy, że dla parzystych potęg mamy \(+1\), a dla nieparzystych \(-1\).
- \(1000 - 1 = 1000 - 1\)
- \((1000 - 1)^2 = 1000^2 - 2 \cdot 1000 + 1 = 1000k_2 + 1\)
- \((1000 - 1)^3 = 1000^3 - 3 \cdot 1000^2 + 3 \cdot 1000 - 1 = 1000k_3 - 1\)
- \((1000 - 1)^4 = 1000k_4 + 1\)
- \((1000 - 1)^5 = 1000k_5 - 1\)
- \((1000 - 1)^6 = 1000k_6 + 1\)
- \((1000 - 1)^7 = 1000k_7 - 1\)
- \((1000 - 1)^8 = 1000k_8 + 1\)
Zatem suma \(S\) ma postać: \[ S = (1000 - 1) + (1000k_2 + 1) + (1000k_3 - 1) + (1000k_4 + 1) + (1000k_5 - 1) + (1000k_6 + 1) + (1000k_7 - 1) + (1000k_8 + 1) \] Czyli: \[ S = 1000 - 1 + 1000k_2 + 1 + 1000k_3 - 1 + 1000k_4 + 1 + 1000k_5 - 1 + 1000k_6 + 1 + 1000k_7 - 1 + 1000k_8 + 1 \] \[ S = 1000 + 1000k_2 + 1000k_3 + 1000k_4 + 1000k_5 + 1000k_6 + 1000k_7 + 1000k_8 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 \] \[ S = 1000(1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5 + k_6 + k_7 + k_8) \] Zatem \(S\) jest podzielne przez \(1000\).
Wykaż, że wyrażenie \(103+103^2+103^3+\ldots+103^{18}\) jest podzielne przez \(10712\).
Zauważmy, że: \[10712=103\cdot 104\] Niech: \[S = 103 + 103^2 + 103^3 + \ldots + 103^{18}\] Wyciągamy \(103\) przed nawias: \[ S = 103(1 + 103 + 103^2 + \ldots + 103^{17}) \] Teraz musimy pokazać, że wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez \(104\). Oznaczmy: \[ T = 1 + 103 + 103^2 + \ldots + 103^{17} \] Chcemy pokazać, że \(T = 104 \cdot k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Zauważmy, że \(103 = 104 - 1\). Zatem: \[ T = 1 + (104 - 1) + (104 - 1)^2 + \ldots + (104 - 1)^{17} \] Korzystając z rozwinięcia dwumianowego Newtona: \[(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k\] możemy zapisać każdy składnik w postaci: \(104 \cdot k_i + (-1)^i\), gdzie \(k_i\) jest pewną liczbą całkowitą.
- \(104 - 1 = 104 \cdot 1 - 1\)
- \((104 - 1)^2 = 104^2 - 2 \cdot 104 + 1 = 104(104 - 2) + 1\)
- \((104 - 1)^3 = 104^3 - 3 \cdot 104^2 + 3 \cdot 104 - 1 = 104(104^2 - 3 \cdot 104 + 3) - 1\)
- \(\ldots\)
- \((104 - 1)^{17} = 104 \cdot k_{17} - 1\)
Zatem: \[ T = 1 + (104 - 1) + (104k_2 + 1) + (104k_3 - 1) + \ldots + (104k_{17} - 1) \] Możemy to zapisać jako: \[ T = 1 + 104 - 1 + 104k_2 + 1 + 104k_3 - 1 + 104k_4 + 1 + \ldots + 104k_{17} - 1 \] Wyrazy z \(104\) wyciągamy przed nawias: \[ T = 104(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) + (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots - 1) \] Zauważmy, że mamy \(18\) wyrazów, więc suma \((1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots - 1)\) wynosi 0. Zatem: \[ T = 104(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) \] Co oznacza, że \(T\) jest podzielne przez 104. Wracając do naszego wyrażenia \(S\): \[ S = 103 \cdot T = 103 \cdot 104(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) = 10712(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) \] Zatem \(103 + 103^2 + 103^3 + \ldots + 103^{18}\) jest podzielne przez 10712.
Wykaż, że wyrażenie \(9+9^2+9^3+\ldots+9^{99}\) jest podzielne przez \(13\).
Zauważmy, że: \[9 + 9^2 + 9^3 = 9 + 81 + 729 = 819 = 13\cdot 63\] Niech \[S = 9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{99}\] Grupujemy wyrazy po trzy: \[ S = (9 + 9^2 + 9^3) + (9^4 + 9^5 + 9^6) + \ldots + (9^{97} + 9^{98} + 9^{99}) \] Zauważamy, że jest \(33\) takie grupy (bo \(99 / 3 = 33\)).
Wyciągamy \(9^3\) przed nawias w każdej grupie (zaczynając od drugiej grupy): \[ S = (9 + 9^2 + 9^3) + 9^3(9 + 9^2 + 9^3) + \ldots + 9^{96}(9 + 9^2 + 9^3) \] Teraz wyciągamy \((9 + 9^2 + 9^3)\) przed nawias: \[ S = (9 + 9^2 + 9^3)(1 + 9^3 + 9^6 + \ldots + 9^{96}) \] Zatem: \[ S = 819(1 + 9^3 + 9^6 + \ldots + 9^{96}) = 13 \cdot 63(1 + 9^3 + 9^6 + \ldots + 9^{96}) \]