Matura 2023 czerwiec (nowa matura)

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x + 5| \lt 15\) jest

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[6]{x}\) jest równy

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Klient wpłacił do banku \(30\ 000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(7\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Liczba \(\log_2\frac{1}{8} + \log_2 4\) jest równa

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot \frac{x-2}{x}\) jest równe

Rozwiąż nierówność \[x(2x-1)\lt2x\] Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie \[x^3+4x^2-9x-36=0\] Zapisz obliczenia.

Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x) = (2m + 3)x + 5\) oraz \(g(x) = -x\) nie mają punktów wspólnych dla

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(y = ax + b\) przechodzi przez punkty \(A = (-3, -1)\) oraz \(B = (4, 3)\). Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt -1\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + 1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a \lt 0\) i \(b > 0\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\). Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku

Masa \(m\) leku \(L\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą \[m(t) = m_0\cdot (0,6)^{0,25t}\] gdzie:
\(m_0\) - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t = 0\) dawki leku,
\(t\) - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t = 0\) zażycia leku.

Chory przyjął jednorazowo lek \(L\) w dawce \(200\) mg.

Liczby \(m(2,5)\), \(m(4,5)\), \(m(6,5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

Trzywyrazowy ciąg \((1, 4, a + 5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\). Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\cos \alpha-\cos \alpha\cdot \sin^2\alpha\) jest równe

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(105^\circ\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek). Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ...................... oraz ...................... .

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC| = 4\) i \(|CD| = 3\) (zobacz rysunek). Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).	P	F
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).	P	F

Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie, że \(|\sphericalangle ADB| = 20^\circ\) i \(|\sphericalangle DBC| = 40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\). Miara kąta \(DKC\) jest równa

Pole trójkąta równobocznego \(T_1\) jest równe \(\frac{(1{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_2\) jest równe \(\frac{(4{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\). Trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali

Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek). Długość boku \(AB\) jest równa

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -x + 1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P = (0, -1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\). Wzorem funkcji \(g\) jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-1, 5)\) oraz \(C = (3, -3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A = (1, 7)\) oraz \(P = (3, 1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\). Punkt \(B\) ma współrzędne

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku \(6\). Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\) i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Objętość tego ostrosłupa jest równa .......................................... .

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od \(1\) do \(8\) - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby \(8\).

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB| = 400\) m oraz \(|CD| = 100\) m. Wysokość trapezu jest równa \(75\) m, a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek). Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]