Matura 2023 czerwiec PR
Arkusz z poziomu rozszerzonego w formule 2023 z terminu dodatkowego 2 czerwca 2023.
Dane są liczby \[a=4^{\log_245}\ \ \ \text{oraz}\ \ \ b=\frac{\log_32023}{\log_92023}\]
Oblicz \(a-b\).
Wśród \(n\) osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te \(n\) osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest \(12\) razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych \(n\) osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).
Oblicz \(n\). Zapisz obliczenia.
Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe \(0{,}1\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 2x^3-4x^2+9x\) dla każdego \(x\in \mathbb{R} \). Punkt \(P = (x_0, 18)\) należy do wykresu funkcji \(f\).
Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) prawdziwa jest nierówność \[a^2+\frac{16}{a}\ge12\]
Dany jest okrąg \(O\). Przez punkt \(A\) poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(P\) oraz \(Q\). Przez punkt \(B\) leżący na odcinku \(AP\) poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie \(D\), która przecięła odcinek \(AQ\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek). 
Wykaż, że jeżeli \(|AQ|=5\cdot |BP|\) oraz \(|CD|=2\cdot |BD|\), to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.
Dany jest nieskończony szereg geometryczny \[2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18}{(x-1)^2}-\frac{54x}{(x-1)^3}+\ ...\]
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\). Zapisz obliczenia.
Rozwiąż równanie \[\sin(5x)+\cos x=0\] w zbiorze \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Zapisz obliczenia.
W okrąg o równaniu \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) wpisano trójkąt \(ABC\). Bok \(AB\) tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu \(4x - 3y + 2 = 0\). Wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) tak, że \(|AD| = 4\cdot |DB|\).
Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[mx^2-(m+1)x-2m+3=0\] ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \[x_1\ne 0, \ \ \ x_2\ne 0\ \ \ \text{oraz}\ \ \ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2} \lt 1\] Zapisz obliczenia.
Ciąg \((a, b, c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a, 2b, c + 1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c - b = 6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.
Czworokąt wypukły \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(4\). Kąty \(BAD\) i \(BCD\) są proste (zobacz rysunek). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego czworokąta przecinają się w punkcie \(E\) tak, że \(|BE| = 3\cdot |DE|\) oraz \(|BD| = 2\cdot |AE|\). 
Oblicz długości boków czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy \(ABCD\) z dowolnym wierzchołkiem podstawy \(EFGH\) ma długość \(d\) (zobacz rysunek). Zapisz obliczenia.
Wyznacz zależność objętości \(V\) graniastosłupa od jego wysokości \(h\) i podaj dziedzinę funkcji \(V(h)\).
Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.