Zagnieżdżone pierwiastki

Rozwiązanie polega na założeniu, że wyrażenie to można zapisać w postaci: \[ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \] gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami nieujemnymi.
Podnosimy obie strony równania do kwadratu: \[ 2+\sqrt{3}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\\[6pt] 2+\sqrt{3}=a+b+2 \sqrt{a b} \] Powyższa równość zachodzi, jeżeli: \[\begin{cases} a+b=2 \\ 2 \sqrt{a b}=\sqrt{3} \end{cases} \] Z drugiego równania wyznaczamy: \[ \sqrt{a b}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt] a b=\frac{3}{4} \] Zatem mamy do rozwiązania układ: \[\begin{cases} a+b=2 \\ ab=\frac{3}{4} \end{cases} \] Wyznaczamy np. z pierwszego równania \(b=2-a\) i podstawiamy do drugiego: \[a(2-a)=\frac{3}{4}\\[6pt] 2a-a^2=\frac{3}{4}\\[6pt] 4a^2-8a+3=0\] Z tego równania kwadratowego otrzymujemy rozwiązania: \[\begin{cases} a_1=\frac{1}{2} \\ b_1=\frac{3}{2} \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} a_2=\frac{3}{2} \\ b_2=\frac{1}{2} \end{cases} \] Rozwiązania są symetryczne więc możemy wybrać dowolne z nich, np: \[\begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{3}{2} \end{cases}\] Mamy zatem: \[ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] Czyli: \[ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} \]

Tak jak w poprzednim przykładzie zakładamy, że wyrażenie można zapisać w postaci: \[ \sqrt{5+2 \sqrt{6}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \] gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami nieujemnymi.
Podnosimy obie strony równania do kwadratu: \[ \begin{aligned} & 5+2 \sqrt{6}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \\ & 5+2 \sqrt{6}=a+b+2 \sqrt{a b} \end{aligned} \] Powyższa równość zachodzi, jeżeli: \[ \left\{\begin{array}{l} a+b=5 \\ 2 \sqrt{a b}=2 \sqrt{6} \end{array}\right. \] Z drugiego równania wyznaczamy: \[ \begin{aligned} \sqrt{a b} & =\sqrt{6} \\ a b & =6 \end{aligned} \] Zatem mamy do rozwiązania układ: \[ \left\{\begin{array}{l} a+b=5 \\ a b=6 \end{array}\right. \] Wyznaczamy np. z pierwszego równania \(b=5-a\) i podstawiamy do drugiego: \[ \begin{gathered} a(5-a)=6 \\ 5 a-a^2=6 \\ a^2-5 a+6=0 \end{gathered} \] Z tego równania kwadratowego otrzymujemy rozwiązania: \[ \left\{\begin{array} { l } { a _ { 1 } = 2 } \\ { b _ { 1 } = 3 } \end{array} \quad \vee \quad \left\{\begin{array}{l} a_2=3 \\ b_2=2 \end{array}\right.\right. \] Rozwiązania są symetryczne, więc możemy wybrać dowolne z nich, np: \[ \left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=3 \end{array}\right. \] Mamy zatem: \[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3} \]

Tak jak w poprzednich przykładach zakładamy, że wyrażenie można zapisać w postaci: \[ \sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \] gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami nieujemnymi.
Podnosimy obie strony równania do kwadratu: \[ 7-4 \sqrt{3}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\\[6pt] 7-4 \sqrt{3}=a+b+2 \sqrt{a b} \] Powyższa równość zachodzi, jeśli: \[ \left\{\begin{array}{l} a+b=7 \\ 2 \sqrt{a b}=-4 \sqrt{3} \end{array}\right. \] Zauważmy, że w drugim równaniu: \(2\sqrt{a b}=-4\sqrt{3}\), lewa strona reprezentuje wartość dodatnią, a prawa strona jest ujemna. Taka równość jest sprzeczna. Z tego wynika, że założenie \(\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) prowadzi do błędu. Dlatego musimy poprawić założenie i teraz spróbujmy przyjąć, że: \[ \sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \] gdzie dodatkowo: \(a \gt b\) (aby prawa strona też była dodatnia). Otrzymujemy wówczas analogiczne równanie: \[ 7-4 \sqrt{3}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\\[6pt] 7-4 \sqrt{3}=a+b-2 \sqrt{a b} \] i układ: \[ \left\{\begin{array}{l} a+b=7 \\ -2\sqrt{a b}=-4\sqrt{3} \end{array}\right. \] Z drugiego równania wyznaczamy: \[ \begin{gathered} \sqrt{a b}=2\sqrt{3} \\ a b=12 \end{gathered} \] Zatem mamy do rozwiązania układ równań: \[ \left\{\begin{array}{l} a+b=7 \\ a b=12 \end{array}\right. \] Wyznaczamy \(b=7-a\) i podstawiamy do drugiego równania: \[ \begin{gathered} a(7-a)=12, \\ 7 a-a^2=12, \\ a^2-7 a+12=0 \end{gathered} \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[\Delta=(-7)^2-4 \cdot 1 \cdot 12=49-48=1\] Zatem: \[ a_1=4 \quad \lor \quad a_2=3 \] Dla \(a_1=4\) mamy \(b=3\), a dla \(a_2=3\) mamy \(b=4\).
Zgodnie z przyjętymi założeniami wybieramy to rozwiązanie, w którym \(a \gt b\), czyli: \begin{cases} a=4 \\ b=3 \end{cases} Zatem ostatecznie mamy: \[ \sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3} \]