Liczymy wartość pochodnej w punkcie \(x_0\) korzystając z definicji: \[ \begin{split} f'(2)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2-2^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{4+4h+h^2-4}{h}\\[6pt] &=\lim_{h \to 0} \frac{4h+h^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{h(4+h)}{h} =\lim_{h \to 0} (4+h) = 4 \end{split} \] Możemy również policzyć z definicji wzór ogólny pochodnej dla tej funkcji:
\[ \begin{split} f'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}\\[6pt] &=\lim_{h \to 0} \frac{2hx+h^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h} =\lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x \end{split} \] Czyli ostatecznie: \[f'(x)=2x\] Można też napisać równoważnie: \[(x^2)'=2x\] Korzystając z tak wyliczonego wzoru możemy teraz obliczyć wartość pochodnej w dowolnym punkcie, np.: \[ f'(2)=2\cdot 2=4\\[6pt] f'(0)=2\cdot 0=0\\[6pt] f'(-5)=2\cdot (-5)=-10\\[6pt] \] Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.