Poziom podstawowy
Wzór ogólny ciągu pozwala obliczyć wartość dowolnego jego wyrazu.
Definicja
Wzór ogólny ciągu - to wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu: \[a_n= \text{wzór ciągu} \] Przykład 1.
Dla ciągu danego wzorem \(a_n=n^2-5\) oblicz pierwszy i czwarty wyraz.
Rozwiązanie:
Liczymy pierwszy wyraz podstawiając do wzoru pod \(n\) liczbę \(1\): \[a_1=1^2-5=-4\] Teraz liczymy czwarty wyraz podstawiając do wzoru pod \(n\) liczbę \(4\): \[a_4=4^2-5=11\]
Przykład 2.
Dla ciągu danego wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot \frac{1}{2^n}\) oblicz pierwsze pięć wyrazów.
Rozwiązanie:
\[\begin{split} &a_1=(-1)^1\cdot \frac{1}{2^1}=-\frac{1}{2}\\[6pt] &a_2=(-1)^2\cdot \frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\\[6pt] &a_3=(-1)^3\cdot \frac{1}{2^3}=-\frac{1}{8}\\[6pt] &a_4=(-1)^4\cdot \frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\\[6pt] &a_5=(-1)^5\cdot \frac{1}{2^5}=-\frac{1}{32}\\[6pt] \end{split}\] Czyli pierwsze pięć wyrazów tego ciągu, to: \(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},-\frac{1}{32}\).
Lekcja 1. Wzór ogólny ciągu - wprowadzenie
W tym nagraniu wideo pokazuję co to jest wzór ogólny ciągu liczbowego.
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 1.
Oblicz siódmy wyraz ciągu:
Odpowiedź:
a) \(a_7=20\)
b) \(a_7=47\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 2.
Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem
\(a_n=(-2)^{3n}\cdot (n^2-4)\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
A.\( a_2=64 \)
B.\( a_2=0 \)
C.\( a_2=-64 \)
D.\( a_2=128 \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 3.
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
A.\( a_3=\frac{1}{2} \)
B.\( a_3=-\frac{1}{2} \)
C.\( a_3=\frac{3}{8} \)
D.\( a_3=-\frac{3}{8} \)
Odpowiedź: D
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 4.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\sqrt{2n+4}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
A.\( a_8=2\sqrt{5} \)
B.\( a_8=8 \)
C.\( a_8=5\sqrt{2} \)
D.\( a_8=\sqrt{12} \)
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 5.
Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem \( a_n=(-1)^n\cdot \frac{2-n}{n^2} \) dla \( n\ge 1 \). Wówczas wyraz \( a_5 \) tego ciągu jest równy
A.\(-\frac{3}{25} \)
B.\(\frac{3}{25} \)
C.\(-\frac{7}{25} \)
D.\(\frac{7}{25} \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 6.
Ciąg dany jest wzorem \(a_n=(-1)^n+\frac{n^2+n}{2n-1}\). Oblicz \(a_1\) i \(a_6\).
Odpowiedź: \(a_1=1\), \(a_6=\frac{53}{11}\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 7.
Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem
\(a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)\) dla \(n\ge 1\). Wynika stąd, że
A.\( a_3=-81 \)
B.\( a_3=-27 \)
C.\( a_3=0 \)
D.\( a_3>0 \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 8.
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(-1)^n\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge 1\). Oblicz \(a_2\) i \(a_5\).
Odpowiedź: \(a_2=0\), \(a_5=\frac{3}{25}\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 9.
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=n+|1-3n|\) dla \(n\ge 1\). Oblicz wyrazy \(a_{37}\) i \(a_{103}\).
Odpowiedź: \(a_{37}=147\), \(a_{103}=411\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 10.
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(-1)^n\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge 1\). Oblicz wartość wyrażenia \(a_{20}-a_{10}\).
Odpowiedź: \(\frac{7}{200}\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.