Poziom studiów
Wyznacznik macierzy jest funkcją przypisującą macierzy kwadratowej liczbę rzeczywistą lub zespoloną.
Istnieje wiele równoważnych definicji wyznacznika. Definicja zaprezentowana poniżej jest indukcyjna: najpierw określamy wyznacznik dla macierzy \(1 \times 1\), a następnie definiujemy wyznacznik dla macierzy \(n \times n\), opierając się na określeniu wyznacznika dla macierzy \((n-1) \times(n-1)\).
Definicja
Niech \(A\) będzie macierzą kwadratową stopnia \(n\), tzn. macierzą wymiaru \(n \times n\). Wyznacznik macierzy \(A \in M_{n \times n}(\mathbb{R} )\), oznaczany jako \(\operatorname{det}(A)\) lub \(|A|\), można zdefiniować rekurencyjnie:
- Wyznacznik macierzy stopnia 1:
Dla macierzy \(A=\left[a_{11}\right]\), wyznacznik jest równy wartości tego jedynego elementu: \[ \operatorname{det}(A)=a_{11} \] - Wyznacznik macierzy stopnia 2:
Dla macierzy \(A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]\), wyznacznik wyraża się wzorem: \[ \operatorname{det}(A)=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \] - Wyznacznik macierzy stopnia 3 i większego:
Dla macierzy \(A=\left[a_{i j}\right]\) stopnia \(n\), wyznacznik definiujemy za pomocą rozwinięcia Laplace'a.
Wyznacznik macierzy \(n \times n\) można wyrazić przez sumę wyznaczników jej mniejszych macierzy \((n-1) \times(n-1)\), nazywanych minorami.
Wyznacznik macierzy \(A=\left[a_{i j}\right]\) stopnia \(n\) można obliczyć poprzez rozwinięcie względem dowolnego wiersza (np. pierwszego wiersza): \[ \operatorname{det}(A)=\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j} a_{1 j} \operatorname{det}\left(A_{1 j}\right) \] gdzie:
\(A_{1 j}\) - to macierz powstała przez usunięcie pierwszego wiersza i \(j\)-tej kolumny macierzy \(A\),
\((-1)^{1+j}\) - to współczynnik znaku (odpowiadający rozwinięciu Laplace'a).
Wyznacznik macierzy \(2\times 2\)
Do obliczania wyznaczników drugiego stopnia zastosujemy wzór: \[ \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|=a d-b c \] Oblicz wyznacznik macierzy \(A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}\right]\)
\[ \operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}\right|=2\cdot 5-4\cdot 3=-2 \]
Wyznacznik macierzy \(3\times 3\)
Do obliczania wyznaczników trzeciego stopnia stosujemy regułę Sarrusa.
Aby obliczyć wyznacznik macierzy \(A\), rozszerzamy macierz poprzez przepisanie pierwszych dwóch kolumn macierzy obok niej. Wyznacznik obliczamy poprzez sumę iloczynów elementów na głównych przekątnych (z lewej na prawą) i odejmujemy sumę iloczynów elementów na przekątnych "przeciwnych" (z prawej na lewą).
\[ \begin{split} \left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31} \end{split} \]
\[ \begin{split} &\qquad \qquad \left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=\\[6pt] &=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21}a_{32}\\[6pt] &-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31} \end{split} \]
Oblicz wyznacznik macierzy \(A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right]\)
Rozszerzamy macierz o pierwsze dwie kolumny: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right] \] Teraz obliczamy sumę iloczynów przekątnych (z lewej na prawą):
\[ (1 \cdot(-1) \cdot 1)+(2 \cdot 4 \cdot 2)+(3 \cdot 0 \cdot 0)=(-1)+(16)+0=15 \]
\[ \begin{split}&(1 \cdot(-1) \cdot 1)+(2 \cdot 4 \cdot 2)+(3 \cdot 0 \cdot 0)=\\[6pt] &=(-1)+(16)+0=15\end{split} \]
Obliczamy sumę iloczynów przekątnych "przeciwnych" (z prawej na lewą): \[ (3 \cdot(-1) \cdot 2)+(1 \cdot 4 \cdot 0)+(2 \cdot 0 \cdot 1)=-6 \] Obliczamy wyznacznik: \[ \operatorname{det}(A)=15-(-6)=21 \]
Oblicz wyznacznik macierzy \( B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right] \)
Rozszerzamy macierz o pierwsze dwie kolumny: \[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right] \quad \Rightarrow \quad\left[\begin{array}{ccccc} 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & 0 & 5 \end{array}\right] \] Teraz obliczamy sumę iloczynów przekątnych (z lewej na prawą):
\[ (2 \cdot 1 \cdot 2)+(0 \cdot 4 \cdot 0)+(-1 \cdot 3 \cdot 5)=(4)+0+(-15)=-11 \]
\[ \begin{split}&(2 \cdot 1 \cdot 2)+(0 \cdot 4 \cdot 0)+(-1 \cdot 3 \cdot 5)=\\[6pt] &=(4)+0+(-15)=-11\end{split} \]
Obliczamy sumę iloczynów przekątnych "przeciwnych" (z prawej na lewą): \[ (-1 \cdot 1 \cdot 0)+(2 \cdot 4 \cdot 5)+(0 \cdot 3 \cdot 2)=40 \] Obliczamy wyznacznik: \[ \operatorname{det}(B)=-11-40=-51 \]
Własności wyznacznika
- Odwracalność macierzy: Macierz \(A\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\operatorname{det}(A) \neq 0\).
- Iloczyn macierzy: \(\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)\) dla dowolnych macierzy kwadratowych \(A\) i \(B\) o tym samym rozmiarze.
- Wyznacznik macierzy transponowanej: \(\operatorname{det}\left(A^T\right)=\operatorname{det}(A)\).
- Skalowanie macierzy: Jeśli każda kolumna macierzy zostanie pomnożona przez skalar \(k\), wyznacznik zostanie pomnożony przez \(k\) podniesione do potęgi \(n\), gdzie \(n\) to wymiar macierzy (np. \(\operatorname{det}(k A)=k^n \operatorname{det}(A)\) ).
- Zmiana kolejności wierszy lub kolumn: Zamiana dwóch wierszy lub kolumn zmienia znak wyznacznika.
- Wyznacznik macierzy jednostkowej: \(\operatorname{det}(I)=1\), gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową.
Wyznacznik ma również znaczenie geometryczne - dla macierzy transformacji liniowej wyznacznik informuje o objętości przekształcenia bryły w przestrzeni i o tym, czy przekształcenie zachowuje orientację przestrzeni, czy ją odwraca.
Oblicz wyznaczniki:
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \)
\(\begin{vmatrix} -3 & 5 \\ -6 & 7 \end{vmatrix} \)
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)
Oblicz wyznacznik: \(\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 7 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix} \)
W tym filmiku omawiam na szybkie metody obliczania wyznaczników macierzy.
Czas nagrania: 17 min.
Oblicz wyznacznik macierzy: \(\begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 7 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & 4 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
Oblicz wyznacznik macierzy: \(\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)
Macierze kwadratowe \(A\) i \(B\) są stopnia \(3\) oraz \(\operatorname{det}(A)=2\) i \(\operatorname{det}(B)=4\). Obliczy:
- \(\operatorname{det}\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^5\right]\)
- \(\operatorname{det}\Bigl[A^4(-B)\Bigl]\)