Poziom podstawowy
Definicja
Wariacja bez powtórzeń - to każdy \(k\)-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów \(n\)-elementowego zbioru (\(k\leqslant n\)). Twierdzenie
Liczbę wariacji bez powtórzeń możemy obliczyć ze wzoru: \[V^k_n=\frac{n!}{(n-k)!}\] W praktyce częściej stosuje się regułę mnożenia: \[n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-(k-1))\] Tworzymy kod z \(4\) liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów?
Na pierwszym miejscu kodu możemy wpisać jedną z \(7\) liter, na drugim jedną z pozostałych \(6\) liter, na trzecim jedną z pozostałych \(5\) liter, a na czwartym jedną z pozostałych \(4\) liter. Zatem kodów mamy: \[7 \cdot 6 \cdot 5\cdot 4=840\]
Ile istnieje czterocyfrowych kodów składających się z różnych cyfr?
Mamy do dyspozycji \(10\) cyfr: \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
Przykładowymi kodami o różnych cyfrach są: \(1234\), \(0189\), \(9734\). Wszystkich takich wariacji bez powtórzeń jest: \[10 \cdot 9 \cdot 8\cdot 7=5040\]
Ile istnieje \(10\)-cyfrowych kodów składających się z różnych cyfr?
Mamy do dyspozycji \(10\) cyfr i musimy z nich zbudować kod \(10\)-cyfrowy o różnych cyfrach, zatem każda cyfra musi zostać wykorzystana dokładnie jeden raz. Zatem wszystkich takich wariacji bez powtórzeń mamy: \[10\cdot 9\cdot 8\cdot ...\cdot 2\cdot 1=10!\]
Spostrzeżenie
Każda \(n\)-elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru \(n\)-elementowego jest permutacją.