Poziom podstawowy
Układ równań linowych:
- może mieć jedno rozwiązanie,
- może mieć nieskończenie wiele rozwiązań,
- może nie mieć w ogóle rozwiązań.
Na przykład układ równań: \[\begin{cases} x+y=1\\ x+y=2 \end{cases}\] nie jest spełniony przez żadną parę liczb (bo suma dwóch liczb nie może być jednocześnie równa \(1\) i \(2\)). Próba rozwiązania takiego układu równań doprowadzi do równania sprzecznego, np. \(0=1\).
Układ równań: \[\begin{cases} x+2y=1\\ 2x+4y=4 \end{cases}\] też nie ma rozwiązania. Jeśli pierwsze równanie pomnożymy stronami przez \(2\), to otrzymamy po lewej stronie to samo co w równaniu drugim, ale po prawej stronie będzie inna liczba.
Układ równań: \[\begin{cases} x+y=1\\ 3x+3y=3 \end{cases}\] ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Drugie równanie jest równoważne pierwszemu - wystarczy podzielić je stronami przez \(3\), aby otrzymać pierwsze równanie .
Zatem ten układ spełnia każda para liczb \(x, y\), których suma jest równa \(1\).
Spróbujmy rozwiązać ten układ metodą przeciwnych współczynników: \[\begin{split} &\begin{cases} x+y=1\\ 3x+3y=3 \qquad /: (-3) \end{cases}\\[6pt] &\begin{cases} x+y=1\\ -x-y=-1 \end{cases} \end{split} \] Dodajemy równania stronami i otrzymujemy: \[0=0\] Otrzymaliśmy równanie zawsze prawdziwe, co oznacza, że równania w układzie równań są równoważne. Zatem układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, a są nimi wszystkie punkty leżące na prostej: \[x+y=1\] Zatem przykładowe pary liczb spełniające ten układ to np.: \(\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\), \(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\), \(\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}\)
Definicja
Układ równań linowych jest:
- oznaczony - jeżeli ma jedno rozwiązanie,
- nieoznaczony - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,
- sprzeczny - jeżeli nie ma rozwiązań.
Układ dwóch równań linowych można interpretować jako dwie proste w układzie współrzędnych.
Interpretacja geometryczna
- Dla oznaczonego układu równań proste przecinają się w \(1\) punkcie.
- Dla nieoznaczonego układu równań proste pokrywają się.
- Dla sprzecznego układu równań proste są równoległe i nie pokrywają się.
Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases} \) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
A.\( m=-1 \)
B.\( m=1 \)
C.\( m=\frac{1}{2} \)
D.\( m=-\frac{1}{2} \)
Układ równań \(\begin{cases} y=3x+2 \\ y=(m-2)x+5 \end{cases} \) nie ma rozwiązań, gdy
A.\( m=2 \)
B.\( m=3 \)
C.\( m=4 \)
D.\( m=5 \)
D
Dane jest równanie \(3x+4y-5=0\). Z którym z poniższych równań tworzy ono układ sprzeczny?
A.\( 6x+8y-10=0 \)
B.\( 4x-3y+5=0 \)
C.\( 9x+12y-10=0 \)
D.\( 5x+4y-3=0 \)
C
Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases} \) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
A.zbiór nieskończony.
B.dokładnie 2 różne punkty.
C.dokładnie jeden punkt.
D.zbiór pusty.
C
Układ równań \(\begin{cases} 4x+2y=10\\ 6x+ay=15 \end{cases} \) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli
A.\( a=-1 \)
B.\( a=0 \)
C.\( a=2 \)
D.\( a=3 \)
D
Układ równań \(\begin{cases} y=-ax+2a \\ y=\frac{b}{3}x-2 \end{cases} \) nie ma rozwiązań dla
A.\( a=-1 \) i \(b=-3\)
B.\( a=1 \) i \(b=3 \)
C.\( a=1 \) i \(b=-3 \)
D.\( a=-1 \) i \(b=3 \)
C
Wyznacz takie liczby \(a\) i \(b\), dla których układ równań \(\begin{cases} 4x+y+2=0\\ax^2+y+b=0 \end{cases} \) jest sprzeczny, zaś układ równań \(\begin{cases} 4x+y-2=0\\b^2x+y+a=0 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
\(a=-2\), \(b=-2\)
Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jednym z równań tego układu jest \(2x+y=6\). Wyznacz drugie równanie układu, wiedząc, że jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
\(y=4x\)