Twierdzenie Talesa

Drukuj

Poziom podstawowy

Twierdzenie Talesa mówi, że jeżeli przetniemy kąt prostymi równoległymi, to stosunki odpowiednich otrzymanych odcinków będą równe.

Na powyższym rysunku kąt \(\alpha \) przecięto prostymi równoległymi \(k\) i \(l\). Wówczas zgodnie z twierdzeniem Talesa zachodzą następujące proporcje: \[\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|CE|}=\frac{|AD|}{|AE|}\] z których wynika również, że: \[\frac{|AB|}{|BD|}=\frac{|AC|}{|CE|}\] oraz: \[\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|AC|}{|AE|}\] a także: \[\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|AE|}{|CE|}\] Powyższe stosunki zachodzą również, gdy proste równoległe przecinają kąty wierzchołkowe:

Twierdzenie Talesa jest mocno powiązane z podobieństwem trójkątów. Obie metody zapisywania stosunków odcinków często można stosować wymiennie.

Proste \(k\) i \(l\) są równoległe. Oblicz długość odcinka \(x\).

Korzystamy z twierdzenia Talesa: \[\begin{split} \frac{5}{x}&=\frac{4}{3}\\[6pt] 4x&=5\cdot 3\\[6pt] x&=\frac{15}{4} \end{split}\]

Proste \(k\) i \(l\) są równoległe. Oblicz długość odcinka \(x\).

Korzystamy z twierdzenia Talesa: \[\begin{split} \frac{4}{2}&=\frac{x}{3}\\[6pt] 2x&=4\cdot 3\\[6pt] x&=6 \end{split}\]

W tym filmie wyjaśniam twierdzenie Talesa i pokazuję jak je stosować na przykładach.

Czas nagrania: 16 min.

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AB\), a ponadto \(|AE|=|DE|=4\), \(|AB|=6\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(CE\) ma długość

A.\( \frac{16}{3} \)

B.\( \frac{8}{3} \)

C.\( 8 \)

D.\( 6 \)

Dany jest trójkąt \(ABC\) o polu równym \(P\). Odcinki \(IJ\) i \(GH\), których końce leżą na bokach trójkąta, są równoległe do boku \(AB\) i przecinają wysokość \(CD\) w punktach \(E\) i \(F\) takich, że \(|CE|=|DF|=\frac{1}{4}\cdot |CD|\) (zobacz rysunek).

Pole trapezu \(GHJI\) jest równe

A.\( \frac{1}{2}P \)

B.\( \frac{9}{16}P \)

C.\( \frac{2}{3}P \)

D.\( \frac{3}{4}P \)