Trójkąt prostokątny

Drukuj

Poziom podstawowy

Definicja

Trójkąt prostokątny – to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (ma mierę \(90^\circ \) i oznaczamy go kropką).

Boki przy kącie prostym nazywamy przyprostokątnymi.
Przeciwprostokątna – to bok, który leży naprzeciwko kąta prostego.

Na powyższym rysunku:

\(a\) i \(b\) – to przyprostokątne,
\(c\) – to przeciwprostokątna,
\(\alpha \) i \(\beta \) - to kąty proste.

Własność

W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych jest równa \(90^\circ \): \[\alpha +\beta =90^\circ \]

Powyższa własność wynika z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180^\circ \): \[\begin{split}\alpha +\beta +90^\circ &=180^\circ \\[6pt] \alpha +\beta &=180^\circ -90^\circ\\[6pt] \alpha +\beta &=90^\circ\end{split} \]

Pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego obliczamy jako \(\frac{1}{2}\) iloczynu przyprostokątnych: \[P=\frac{1}{a}a\cdot b\] lub jako \(\frac{1}{2}\) iloczynu przeciwprostokątnej i wysokości opuszczonej przeciwprostokątną: \[P=\frac{1}{2}c\cdot h\]

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości \(5\) i \(6\).

Szukane pole to: \[P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6=15\]

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych \(a\) i \(b\) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej \(c\): \[a^2+b^2=c^2\]

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(3\) oraz \(4\). Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Zróbmy rysunek poglądowy:

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć \(c\): \[ c^2=3^2+4^2\\[6pt] c^2 = 9+16\\[6pt] c^2=25\\[6pt] c=5 \] Teraz możemy policzyć pole trójkąta korzystając z przyprostokątnych: \[P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6\] Jeżeli policzylibyśmy wysokość ze wzoru: \(P=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h\), to też otrzymalibyśmy \(6\).
Zatem: \[\frac{1}{2}\cdot c\cdot h=6\\[6pt] \frac{1}{2}\cdot 5\cdot h = 6\\[6pt] 5h=12\\[6pt] h=\frac{12}{5} \]

Twierdzeniu Pitagorasa jest poświęcony kolejny rozdział, który znajdziesz tutaj

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków. W przypadku trójkąta prostokątnego jest to punkt przypadający na środek przeciwprostokątnej.
Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie przeciwprostokątnej: \[R=\frac{1}{2}c\]

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(2\) oraz \(6\). Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

Zróbmy rysunek poglądowy:

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć przeciwprostokątną \(c\): \[ c^2=2^2+6^2\\[6pt] c^2 = 4+36\\[6pt] c^2=40\\[6pt] c=2\sqrt{10} \] W trójkącie prostokątnym okrąg opisany ma promień równy połowie przeciwprostokątnej: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} \] Pole koła obliczamy ze wzoru \( P = \pi R^2 \): \[ P = \pi (\sqrt{10})^2\\[6pt] P = 10\pi \] Zatem pole koła opisanego na tym trójkącie wynosi \(10\pi\).

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Okrąg wpisany w trójkąt to taki, który jest styczny do wszystkich jego boków.
Środek okręgu wpisanego znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

Ważna własność

W dowolnym trójkącie odległości wierzchołków od punktów styczności okręgu wpisanego z jego bokami są równe.

Poziom rozszerzony

Promień \(r\) okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny można wyznaczyć ze wzoru:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \] gdzie:
\(a, b\) – długości przyprostokątnych,
\(c\) – długość przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątną można zapisać jako sunę odcinków od wierzchołków do punktów styczności: \[c=(a-r)+(b-r)\] Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: \[ \begin{split}a^2+b^2&=((a-r)+(b-r))^2\\[6pt] a^2+b^2&=(a+b-2r)^2\\[6pt] a^2+b^2&=a^2+2ab+b^2-4(a+b)r+4r^2\\[6pt] 0 &= 2ab - 4(a+b)r + 4r^2\\[6pt] 0 &= ab - 2(a+b)r + 2r^2\\[6pt] 0 &= 2r^2 - 2(a+b)r + ab\\[6pt] \end{split} \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe ze względu na \(r\): \[ 2r^2 - 2(a+b)r + ab = 0 \] \[\begin{split} \Delta &= (-2(a+b))^2 - 4 \cdot 2 \cdot ab =\\[6pt] &= 4(a+b)^2 - 8ab = 4(a^2 + b^2)\end{split}\] Ponieważ \(c=\sqrt{a^2+b^2}\), więc: \[\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{a^2+b^2}=2c \] Zatem: \[\begin{split}r = \frac{2(a+b) + 2c}{4} \quad &\lor \quad r = \frac{2(a+b) - 2c}{4}\\[6pt] r = \frac{a+b + c}{2} \quad &\lor \quad r = \frac{a+b - c}{2}\end{split} \] Należy jeszcze rozstrzygnąć, które rozwiązanie jest poprawne.
Promień \(r\) musi być dodatni i mniejszy od każdego z boków.
Oba rozwiązania są dodatnie, ponieważ z nierówności trójkąta mamy: \(a+b\gt c\). Czyli nawet mniejsze rozwiązanie: \(\frac{a+b - c}{2}\gt 0\).

Rozwiązanie \(r = \frac{a+b + c}{2}\) jest za duże, ponieważ: \(\frac{a+b + c}{2} \gt \frac{c+c}{2} = c\).

Zatem jedyne dobre rozwiązanie to: \[r = \frac{a+b - c}{2}_{c.n.d.}\]

Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) i \(4\).

Najpierw obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

\[ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ c = 5 \]

Teraz stosujemy wzór na promień:

\[ r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Zatem promień okręgu wpisanego wynosi \(1\).