Silnia

Drukuj

Poziom podstawowy

Definicja

Silnię liczby naturalnej \(n\) oznaczamy symbolem \(n!\) i definiujemy jako iloczyn kolejnych liczb naturalnych: \[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n\]

\(3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\)
\(4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\)
\(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\)
\(6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\)
\(10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 ... \cdot 9 \cdot 10 = 3628800\)
\(17! = 1 \cdot 2 \cdot 3 ... \cdot 16 \cdot 17 = 355687428096000\)

Silnię dowolnej liczby naturalnej możesz obliczyć za pomocą tego programu.

Symbol silni pozwala w prosty i krótki sposób zapisywać długie iloczyny liczb.
Zapisanie liczby za pomocą silni daje również informację z jakich czynników składa się dana liczba.

W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące silni.
Czas filmu: 23 minuty.

Oblicz:

4! - 2! ⋅ 3! = 4! - 2! ⋅ 3! = 24 - 2 ⋅ 6 = 24 - 12 = 12
5! - 2! ⋅ 4! = 5! - 2! ⋅ 4! = 120 - 2 ⋅ 24 = 120 - 48 = 72
\(\frac{10!}{8!\cdot 2!}\)
W tym przykładzie występują już trochę większe liczby, zatem nie opłaca się liczyć ile dokładnie wynosi np. 10!. Łatwiej będzie skrócić wspólne czynniki z licznika i mianownika.
Zauważmy najpierw, że:

Zatem:
\(\frac{12!}{10!\cdot 4!}\)
W tym przykładzie skrócimy wspólne czynniki z licznika oraz mianownika.
Zauważmy najpierw, że:

Zatem:
\(\frac{9!\cdot 7!}{(6!)^3}\)
Podobnie jak w przykładach poprzednich - skrócimy wspólne czynniki z licznika i mianownika.
Zauważmy najpierw, że:

Zatem podstawiamy i skracamy:
\(\frac{(9!)^3}{10!\cdot (8!)^2}\)
W tym przykładzie również skrócimy wspólne czynniki z licznika i mianownika. Wcześniej będziemy musieli jednak "sprowadzić" wszystkie silnie do najmniejszej, czyli do 8!.
Zauważmy, że:

W związku z tym podstawiamy i skracamy:

Doprowadź do najprostszej postaci:

\(\frac{n!}{(n-1)!}\)
W tym zadaniu (podobnie jak w zadaniu poprzednim) skrócimy wspólne czynniki z licznika i mianownika. Na początku będziemy musieli jednak tak zapisać wyrażenie n!, aby pojawił się wspólny czynnik na górze i na dole ułamka.
Zauważmy najpierw, że w n! siedzi ukryta (n-1)!:

Zatem podstawiamy i skracamy:
\(\frac{n!}{(n-3)!}\)
Liczba n! występująca w liczniku ułamka jest większa od liczby (n - 3)! występującej w mianowniku ułamka. Chcąc uzyskać wspólny czynnik w liczniku i mianowniku (aby go potem skrócić) przedstawimy większą z tych liczb jako mniejsza razy coś. Liczbę n! możemy zapisać np. tak:

Teraz możemy już podstawić i skrócić ułamek:
\(\frac{(n-2)!}{n!}\)
Tutaj postępujemy dokładnie tak samo jak w poprzednim przykładzie. Na początku zauważamy, że:

Zatem:
\(\frac{(n-3)!}{(n-1)!}\)
Zauważmy, że wyrażenie z mianownika możemy zapisać tak:

Dzięki takiemu przekształceniu uzyskamy wspólny czynnik w liczniku oraz w mianowniku ułamka i będziemy mogli go skrócić:

Tego typu "sztuczkę" bardzo często wykorzystuje się przy skracaniu ułamków z silnią. Wystarczy jedynie zapamiętać, że zawsze w większej liczbie szukamy wspólnego czynnika dla mniejszej.
\(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}\)
Liczba w liczniku jest większa, więc zapiszemy ją tak aby pojawił się czynnik z mianownika:

Dzięki takiemu zapisaniu uzyskamy wspólny czynnik w liczniku i w mianowniku ułamka. Teraz będziemy mogli go skrócić:
\(\frac{(3n-2)!}{(3n)!}\)
Liczba w mianowniku jest większa, więc zapiszemy ją tak aby pojawił się czynnik z licznika:

Dzięki takiemu zapisaniu mianownika uzyskamy wspólny czynnik w liczniku i w mianowniku ułamka. Teraz będziemy mogli go skrócić: