Reguła mnożenia

Drukuj

Poziom podstawowy

Reguła mnożenia przydaje się podczas rozwiązywania wielu zadań z kombinatoryki. Omówimy ją na konkretnych przykładach.

Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia?

Możliwe wyniki to np.: \((Orzeł,Orzeł,Reszka)\), \((O,R,R)\), \((R,O,R)\), \((R,R,R)\)...

Zatem:
W I rzucie może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
W II rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
W III rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.

Powiemy:

Reguła mnożenia mówi, że w takiej sytuacji mamy: \[2\cdot 2\cdot 2=8\] możliwości.

W regule mnożenia zawsze zamieniamy spójnik "i" na mnożenie.

Rzucamy 10 razy monetą. Ile jest możliwych wyników?

W każdym rzucie możemy otrzymać 2 wyniki: \(Orzeł\) albo \(Reszka\). Powiemy:

W pierwszym rzucie mamy \(2\) możliwości i w drugim rzucie mamy \(2\) możliwości i w trzecim rzucie mamy \(2\) możliwości... i w dziesiątym rzucie mamy \(2\) możliwości.

Zatem łącznie mamy: \[\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot ...\cdot 2}_{10\text{ razy}}=2^{10}\] możliwości.

Rzucamy 3 razy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników?

W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu wyników. Powiemy:

W pierwszym rzucie mamy \(6\) możliwości i w drugim rzucie mamy \(6\) możliwości i w trzecim rzucie mamy \(6\) możliwości.

Zatem łącznie mamy: \[6\cdot 6\cdot 6=6^3\] możliwości.

Rzucamy 5 razy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników?

W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu wyników.
Zatem łącznie mamy: \[6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^5\] możliwości.

Ze wsi \(A\) do wsi \(B\) prowadzi \(5\) ścieżek przez las. Na ile sposobów można odbyć spacer \(A-B-A\) tak, aby spacer ze wsi \(B\) do wsi \(A\) odbyć inną ścieżką niż ze wsi \(A\) do wsi \(B\)?

A.\( 5^4 \)

B.\( 5+4 \)

C.\( 4^5 \)

D.\( 5\cdot 4 \)

Na rysunku dany jest kwadrat, trójkąt i elipsa. Mamy również do dyspozycji \(8\) kolorów farb. Na ile różnych sposobów można pomalować wszystkie trzy figury tymi ośmioma kolorami, tak aby każda figura była w innym kolorze?

A.\( 27 \)

B.\( 336 \)

C.\( 512 \)

D.\( {8}^{8} \)

Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w \( 10 \) kolorach, jest równa

A.\(100 \)

B.\(99 \)

C.\(90 \)

D.\(19 \)

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od \(5\) jest

A.\( 16 \)

B.\( 20 \)

C.\( 25 \)

D.\( 30 \)

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa

A.\( 25 \)

B.\( 20 \)

C.\( 15 \)

D.\( 12 \)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.

\(2125\)

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?

\(9\)

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o \(2\) większa od cyfry jedności?

\(72\)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?

A.\( 16 \)

B.\( 20 \)

C.\( 24 \)

D.\( 25 \)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są nieparzyste?

A.\( 16 \)

B.\( 20 \)

C.\( 24 \)

D.\( 25 \)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których wszystkie trzy cyfry są parzyste?

A.\( 40 \)

B.\( 64 \)

C.\( 100 \)

D.\( 125 \)

Wszystkich dodatnich liczb całkowitych czterocyfrowych mniejszych od \(4000\), zapisanych za pomocą cyfr: \(3, 5, 7, 9\) tak, że żadna cyfra się nie powtarza, jest

A.\( 6 \)

B.\( 24 \)

C.\( 64 \)

D.\( 256 \)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez \(5\)?

A.\( 90 \)

B.\( 100 \)

C.\( 180 \)

D.\( 200 \)

Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród \( 10 \) zawodników?

A.\(100 \)

B.\(90 \)

C.\(45 \)

D.\(20 \)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.

\(630\)

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

A.\( 3 \)

B.\( 6 \)

C.\( 9 \)

D.\( 27 \)

Na parkingu salonu samochodowego stoi \(10\) samochodów tej samej marki. Cztery samochody są czarne, trzy - srebrne, a pozostałe - granatowe. Wybieramy trzy samochody. Na ile sposobów można dokonać wyboru tak, aby wszystkie wybrane samochody były:

w różnych kolorach,
w tym samym kolorze?