Różne zadania z okręgu i koła

Drukuj
Poziom podstawowy
Zadanie 1.
Średnice \(AB\) i \(CD\) okręgu o środku \(S\) przecinają się pod kątem \(50^\circ\) (tak jak na rysunku). Miara kąta \(\alpha \) jest równa
A.\( 25^\circ \)
B.\( 30^\circ \)
C.\( 40^\circ \)
D.\( 50^\circ \)
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 2.
Wierzchołki trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu i środek \(O\) okręgu leży wewnątrz trójkąta. Jeśli kąt \(ABO\) ma miarę \(20^\circ\), to kąt \(ACB\) ma miarę:
A.\( 70^\circ \)
B.\( 40^\circ \)
C.\( 20^\circ \)
D.\( 10^\circ \)
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: A
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 3.
Punkty \(A\) i \(B\) należą do okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(3\). Wiadomo, że \(|\sphericalangle AOB|=150^\circ \). Cięciwa \(AB\) dzieli okrąg na dwa łuki, z których większy ma długość:
A.\( 2{,}5\pi \)
B.\( 3{,}5\pi \)
C.\( 3{,}75\pi \)
D.\( 5{,}25\pi \)
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 4.
Cięciwa okręgu ma długość \(8\) cm i jest oddalona od jego środka o \(3\) cm. Promień tego okręgu ma długość
A.\( 3 \) cm
B.\( 4 \) cm
C.\( 5 \) cm
D.\( 8 \) cm
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 5.
Punkty \(A, B, C, D\) i \(E\) leżą na okręgu o środku \(S\) i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek). Wówczas miara kąta ostrego \(\alpha \) między cięciwą \(AB\) i styczną do tego okręgu w punkcie \(A\) jest równa
A.\( \alpha =18^\circ \)
B.\( \alpha =30^\circ \)
C.\( \alpha =36^\circ \)
D.\( \alpha =54^\circ \)
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 6.
Dane są dwa okręgi o promieniach \(12\) i \(17\). Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa
A.\( 5 \)
B.\( 12 \)
C.\( 17 \)
D.\( 29 \)
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 7.
Punkty \( A=(-1,3)\) i \(C=(7,9) \) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta \( ABCD \). Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy
A.\(10 \)
B.\(6\sqrt{2} \)
C.\(5 \)
D.\(3\sqrt{2} \)
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 8.
Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okręgi o średnicach \(AB\) i \(AD\) przecinają się w punktach \(A\) i \(P\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \(B, P\) i \(D\) leżą na jednej prostej.
Film
Nauka
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 9.
Na odcinku \(AB\) wybrano punkt \(C\), a następnie zbudowano trójkąty równoboczne \(ACD\) i \(CBE\) tak, że wierzchołki \(D\) i \(E\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\). Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach \(C\) i \(P\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że miara kąta \(APB\) jest równa \(120^\circ \).
Film
Nauka
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 10.
Oblicz kąt \(\alpha \) między cięciwą \(PQ\), a styczną do okręgu w punkcie \(P\).
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: \(\alpha =65^\circ \)
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 11.
Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) okręgu dzielą ten okrąg na trzy łuki, których długości pozostają w stosunku \(\overset{\frown}{|AB|}:\overset{\frown}{|BC|}:\overset{\frown}{|AC|}=3:4:5\). Oblicz miary kątów \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) trójkąta \(ABC\).
Film
Odp
Nauka
Odpowiedź: \(\alpha =60^\circ \), \(\beta =75^\circ \), \(\gamma =45^\circ \)
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 12.
Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A, B, C, D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O, P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 180^\circ\).
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 13.
W czworokącie \(OBMA\) kąty wewnętrzne \(AOB\) i \(AMB\) mają równe miary. Wówczas kąt \(\alpha \) ma miarę:
A.\( 160^\circ \)
B.\( 120^\circ \)
C.\( 240^\circ \)
D.\( 210^\circ \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 14.
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa \(8\) cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa \(2\) cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.
Odpowiedź: \(r_1=5\), \(r_2=3\)
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 15.
Miara kąta \( \alpha \), zaznaczonego na rysunku, jest równa
A.\(35^\circ \)
B.\(55^\circ \)
C.\(70^\circ \)
D.\(110^\circ \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 16.
Na trójkącie równoramiennym \( ABC \), w którym \( \vert{AC}\vert=\vert{BC}\vert \) opisano okrąg o środku \( O \). Prosta \( k \) jest styczna do tego okręgu w punkcie \( B \) i \( \vert{\sphericalangle BOC}\vert=140^\circ \). Kąt \( \alpha \) ma miarę
A.\(70^\circ \)
B.\(40^\circ \)
C.\(90^\circ \)
D.\(50^\circ \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 17.
Dane są dwa okręgi o promieniach \(10\) i \(15\). Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa
A.\( 2{,}5 \)
B.\( 5 \)
C.\( 10 \)
D.\( 12{,}5 \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 18.
W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość \(10\) i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 19.
Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\) opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.
Odpowiedź: \(r=\frac{\sqrt{15}}{2}\)
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 20.
Dane są punkty \(A = (2, 3)\) oraz \(B = (−6, −3)\). Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny \(ABC\) jest równy
A.\( \frac{20\sqrt{3}}{3} \)
B.\( \frac{40\sqrt{3}}{3} \)
C.\( \frac{5\sqrt{3}}{3} \)
D.\( \frac{10\sqrt{3}}{3} \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Tematy nadrzędne i sąsiednie