Poziom rozszerzony
Równanie wykładnicze - to równanie w którym niewiadoma \(x\) występuje tylko w wykładniku potęgi.
Przykładowo: \[5^{2x}=125\]
Metoda rozwiązywania
Równanie wykładnicze rozwiązujemy sprowadzając obie strony równania do postaci potęgi o tej samej podstawie: \[a^{\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)}} = a^{\color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}} \] Następnie przechodzimy do porównywania samych wykładników: \[\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)} = \color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}\] W powyższej metodzie przechodzimy do porównywania samych wykładników wykonując logarytmowanie równania \(a^{\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)}} = a^{\color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}}\) stronami przez \(\log_a\). Korzystamy przy tym z faktu, że: \[\log_a(a^x)=x\] Formalnie tak można to zapisać: \[\begin{split} a^{\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)}} &= a^{\color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}}\\[6pt] \log_aa^{\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)}} &= \log_aa^{\color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}}\\[6pt] \color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)} &= \color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)} \end{split} \]
Rozwiąż równanie \(5^{2x} = 125\).
\[ 5^{2x} = 125\\[6pt] 5^{2x} = 5^3\\[6pt] 2x = 3\\[6pt] x=\frac{3}{2} \]
Rozwiąż równanie \(2^{3x-7} = 2^{2x+1}\).
\[\begin{split} 2^{3x-7} &= 2^{2x+1}\\[6pt] 3x-7 &= 2x+1\\[6pt] x&=8 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{13}\).
\[\begin{split} \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1} &= \left(\frac{1}{3}\right)^{13}\\[6pt] 2x+1&= 13\\[6pt] 2x&= 12\\[6pt] x&=6 \end{split}\]
Udowodnij, że wykresy funkcji \[f(x)=3 \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{2}{7}\right)^{x+1}\ \ \text{oraz}\ \ \ g(x)=\left(\frac{8}{343}\right)^{\frac{1}{3} x-1}\] nie mają punktów wspólnych.
Wykresy dwóch funkcji mają punkty wspólne dla tych \(x\)-ów dla których: \(f(x)=g(x)\).
Zatem żeby wykazać, że wykresy nie mają punktów wspólnych, wystarczy pokazać, że równanie \(f(x)=g(x)\) nie ma rozwiązania. \[ \begin{gathered} f(x)=g(x) \\ 3 \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{2}{7}\right)^{x+1}=\left(\frac{8}{343}\right)^{\frac{1}{3} x-1} \\[6pt] \frac{7}{2} \cdot\left(\frac{2}{7}\right)^{x+1}=\left(\left(\frac{2}{7}\right)^3\right)^{\frac{1}{3} x-1} \\[6pt] \left(\frac{2}{7}\right)^x=\left(\frac{2}{7}\right)^{3\left(\frac{1}{3} x-1\right)} \\[6pt] \left(\frac{2}{7}\right)^x=\left(\frac{2}{7}\right)^{x-3} \\[6pt] x=x-3 \\[6pt] x-x=3 \\[6pt] 0=3 \end{gathered} \] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem wykresy nie mają punktów wspólnych. \(c.n.d.\)
Rozwiąż równanie \(6^{2x-1}=1\).
\(x=\frac{1}{2}\)
Rozwiąż równanie \(\frac{1}{9}\cdot 3^{x-2}=9^{-\frac{2}{x}}\).
\(x=2\)
Rozwiąż równanie \((0{,}125)^{2x}=\frac{1}{16}\).
\(\frac{2}{3}\)
Rozwiąż równanie \((1{,}25)^{x^2-5}=0{,}512\).
Rozwiąż równanie \(\left(1\frac{1}{5}\right)^{x-1}=\left(\frac{5}{6}\right)^{x+1}\)
Rozwiąż równanie \((0{,}75)^{2x}=\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{5x-6}{x}}\)
Rozwiąż równanie \(2^{x^3+x^2}=32^{x+1}\).
\(x=-1\) lub \(x=-\sqrt{5}\) lub \(x=\sqrt{5}\)
Rozwiąż równanie \(\left(\sqrt[3]{4\sqrt[4]{4}}\right)^{6x+6}=8^{\frac{1}{3}x^2+3}\)
\(x=1\) lub \(x=4\)
Rozwiąż równanie \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2-1}\cdot \left(\frac{25}{4}\right)^{-2x}=\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^{4x-4x^2}\)
\(x=-1\) lub \(x=\frac{1}{3}\)
Rozwiąż równanie \(\frac{5^{x^3}}{\left(\sqrt[3]{5}\right)^{12}}=\frac{\left(\frac{1}{25}\right)^{-2x}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2x^2}}\)
\(x=-2 \lor x=-1 \lor x=2\)
Rozwiąż równanie \(\sqrt{(0{,}25)^{5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}-4}\)
\(x=24\)
Rozwiąż równanie \(2^{5x-1}\cdot 3^{3x-1}=4^x\cdot 6^{x+8}\)
\(x=\frac{9}{2}\)
Rozwiąż równanie \(3^{x+2}+3^{x+1}-3^x=13\)
\(x=\log_3\frac{13}{11}\)
Rozwiąż równanie \(\frac{5\cdot 2^{3x}-2\cdot 4^x\cdot 4^{\frac{x}{2}}}{16-8^x}=1\)
\(x=\frac{2}{3}\)
Rozwiąż równanie \(4^x+6^x-2\cdot 9^x=0\)