Poziom rozszerzony
Nierówność wykładnicza - to nierówność w której niewiadoma \(x\) występuje tylko w wykładniku potęgi.
Przykładowo: \[2^x\gt 8\]
Metoda rozwiązywania
Nierówność wykładniczą rozwiązujemy sprowadzając obie strony nierówności do postaci potęgi o tej samej podstawie: \[a^{\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)}} \gt a^{\color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}} \] Następnie z obu stron nierówności wyciągamy logarytm o podstawie \(a\) i przechodzimy do porównywania samych wykładników:
- jeżeli \(a\gt 1\), to nierówność ma taki sam znak: \[\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)} \gt \color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}\]
- jeżeli \(a \in (0, 1)\), to zmieniamy znak na przeciwny: \[\color{Red}{(1\text{ wyrażenie z }x)} \lt \color{Blue}{(2\text{ wyrażenie z }x)}\]
W powyższej metodzie korzystamy z faktu, że: \[\log_a(a^x)=x\]
Rozwiąż nierówność \(2^x\ge 8\).
\[ 2^x\ge 8\\[6pt] 2^x\ge 2^3\\[6pt] x\ge3 \]
Rozwiąż nierówność \(3^{6x} \gt 3^2\).
\[\begin{split} 3^{6x} &\gt 3^2\\[6pt] 6x&\gt 2\\[6pt] x&\gt \frac{1}{3} \end{split}\]
Rozwiąż nierówność \(\left(\frac{1}{5}\right)^{6x} \gt \left(\frac{1}{5}\right)^2\).
\[\begin{split} \left(\frac{1}{5}\right)^{6x} &\gt \left(\frac{1}{5}\right)^2\\[6pt] 6x&\lt 2\\[6pt] x&\lt \frac{1}{3} \end{split}\] Zwróć uwagę na zmianę znaku w drugiej linijce. Podstawa potęgi jest równa \(\frac{1}{5}\), czyli jest mniejsza od \(1\), zatem należało zmienić znak na przeciwny.
Rozwiąż nierówność \(8^x\lt 16\sqrt{2}\).
\[ \begin{split} 8^x&\lt 16\sqrt{2}\\[6pt] {(2^3)}^x&\lt 2^4\cdot 2^{\frac{1}{2}}\\[6pt] 2^{3x}&\lt 2^{4+\frac{1}{2}}\\[6pt] 2^{3x}&\lt 2^{\frac{9}{2}}\\[6pt] 3x&\lt \frac{9}{2}\\[6pt] x&\lt \frac{3}{2} \end{split} \]
Rozwiąż nierówność \(\frac{(0{,}4)^{2x}}{(0{,}4)^{5x-1}}\lt 4^{10x}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{10x}\)
\[ \begin{split} \frac{(0{,}4)^{2x}}{(0{,}4)^{5x-1}}&\lt 4^{10x}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{10x}\\[6pt] (0{,}4)^{2x-5x+1}&\lt \left(\frac{4}{10}\right)^{10x}\\[6pt] (0{,}4)^{-3x+1}&\lt (0{,}4)^{10x}\\[6pt] -3x+1&\gt 10x\\[6pt] -13x&\gt -1\\[6pt] x &\lt \frac{1}{13} \end{split} \] W tym przykładzie dwa razy zmienialiśmy znak. Pierwszy raz jak logarytmowaliśmy nierówność logarytmem o podstawie mniejszej od \(1\). Drugi raz jak dzieliliśmy nierówność stronami przez liczbę ujemną (\(-13\)).
Rozwiąż nierówność \(2^{x+4}+2^{x+5}+5 \cdot 2^{x+2}\lt 34\).
Najpierw przekształcamy lewą stronę nierówności, tak aby można było wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias. \[ \begin{split} 2^{x+4}+2^{x+5}+5 \cdot 2^{x+2}&\lt 34 \\[6pt] 2^2 \cdot 2^{x+2}+2^3 \cdot 2^{x+2}+5 \cdot 2^{x+2}&\lt 34 \\[6pt] 4 \cdot 2^{x+2}+8 \cdot 2^{x+2}+5 \cdot 2^{x+2}&\lt 34 \end{split} \] Teraz już można wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias, którym jest \(2^{x+2}\). \[ \begin{split} 2^{x+2}(4+8+5)&\lt 34 \\[6pt] 2^{x+2} \cdot 17&\lt 34 \\[6pt] 2^{x+2}&\lt 2 \\[6pt] 2^{x+2}&\lt 2^1 \\[6pt] x+2&\lt 1 \\[6pt] x&\lt -1 \end{split} \]
Rozwiąż nierówność: \(3^{3 x+1}-4 \cdot 27^{x-1}+9^{1,5 x-1}<80\).
Najpierw przekształcamy lewą stronę nierówności, tak aby można było później wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias. \[ \begin{split} 3^{3 x+1}-4 \cdot 27^{x-1}+9^{1,5 x-1}&\lt 80 \\[6pt] 3^{3 x+1}-4 \cdot 3^{3 x-3}+3^{3 x-2}&\lt 80 \\[6pt] 3^4 \cdot 3^{3 x-3}-4 \cdot 3^{3 x-3}+3 \cdot 3^{3 x-3}&\lt 80 \\[6pt] 81 \cdot 3^{3 x-3}-4 \cdot 3^{3 x-3}+3 \cdot 3^{3 x-3}&\lt 80 \end{split} \] Teraz już można wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias, którym jest \(3^{3 x-3}\). \[ \begin{split} 3^{3 x-3}(81-4+3)&\lt 80 \\[6pt] 3^{3 x-3} \cdot 80&\lt 80 \\[6pt] 3^{3 x-3}&\lt 1 \\[6pt] 3^{3 x-3}&\lt 3^0 \\[6pt] 3 x-3&\lt 0 \\[6pt] 3 x&\lt 3 \\[6pt] x&\lt 1 \end{split} \]
Rozwiąż nierówność: \[\left(\frac{8}{27}\right)^{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{4^n}+...}\ge \left(\frac{16}{81}\right)^{|x+1|-|x|}\]
\(x\ge 0\)