Równania i nierówności liniowe z parametrem

\[ \begin{split} a^2x+x+5&=3a-2x \\[6pt] a^2x+3x&=3a-5 \\[6pt] x(a^2+3)&=3a-5\qquad /:(a^2+3) \\[6pt] x&=\frac{3a-5}{a^2+3} \end{split} \] W przedostatniej linijce mogliśmy bezpiecznie podzielić równanie stronami przez \(a^2+3\), ponieważ \(a^2+3 \neq 0\) dla \(a \in \mathbf{R}\).
Otrzymane rozwiązanie równania zależy od parametru \(a\).
Dla \(a=1\) mamy: \[x=\frac{3\cdot 1-5}{1^2+3}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\] Dla \(a=-2\) mamy: \[x=\frac{3\cdot (-2)-5}{(-2)^2+3}=-\frac{11}{7}\]

\[\begin{split} a^2x-4x&=a+2\\[6pt] x(a^2-4)&=a+2 \end{split}\] W tym momencie chcemy podzielić równanie stronami przez \(a^2-4\), ale musimy założyć, że nie dzielimy przez zero. Zakładamy, że \(a^2-4 \ne 0\), czyli, że \(a\ne 2\) i \(a \ne -2\). Wówczas otrzymamy jedno rozwiązanie, które zależy od parametru \(a\): \[\begin{split} x(a^2-4)&=a+2\qquad /:(a^2-4) \\[6pt] x&=\frac{a+2}{a^2-4} \end{split}\] Pozostaje sprawdzić co się dzieje dla \(a= 2\) oraz \(a = -2\):

• Dla \(a=2\) mamy: \[\begin{split} x(2^2-4)&=2+2\\[6pt] x\cdot 0=4 \end{split}\] To równanie jest sprzeczne dla każdej liczby \(x\in \mathbf{R}\).
• Dla \(a=-2\) mamy: \[\begin{split} x((-2)^2-4)&=-2+2\\[6pt] x\cdot 0=0 \end{split}\] To równanie jest spełnione dla każdej liczby \(x\in \mathbf{R}\), czyli jest tożsamościowe.

Podsumowanie:

• Dla \(a\in \mathbf{R} \backslash \{-2, 2\}\) mamy jedno rozwiązanie: \(x=\frac{a+2}{a^2-4}\). Możemy jeszcze to rozwiązanie uprościć: \[x=\frac{a+2}{(a-2)(a+2)}=\frac{1}{a-2}\]
• Dla \(a=2\) mamy równanie sprzeczne.
• Dla \(a=-2\) mamy równanie tożsamościowe.

Równanie ma postać: \[ (m^2 - 16)x = 4 + m \] Chcemy teraz podzielić obie strony przez \(m^2 - 16\), ale musimy najpierw założyć, że nie dzielimy przez zero. Sprawdźmy, kiedy mianownik się zeruje: \[ m^2 - 16 = 0\\[6pt] m^2 = 16\\[6pt] m = \pm 4 \] Zakładamy więc, że \(m \ne 4\) i \(m \ne -4\). Wówczas dzielimy stronami: \[\begin{split} x(m^2 - 16) &= 4 + m \quad /:(m^2 - 16)\\[6pt] x &= \frac{4 + m}{m^2 - 16} \\[6pt] x &= \frac{4 + m}{(m+4)(m-4)}\\[6pt] x &= \frac{1}{m-4} \end{split}\]

Zatem dla \(m \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\) równanie ma jedno rozwiązanie: \(x = \frac{1}{m-4}\).

Teraz rozpatrujemy przypadki szczególne:

• Dla \(m = 4\): \[\begin{split} (4^2 - 16)x &= 4 + 4 \\[6pt] (16 - 16)x &= 8 \\[6pt] 0\cdot x &= 8 \end{split}\] Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.
• Dla \(m = -4\): \[\begin{split} ((-4)^2 - 16)x &= 4 + (-4) \\[6pt] (16 - 16)x &= 0 \\[6pt] 0\cdot x &= 0 \end{split}\] Równanie tożsamościowe, spełnione dla każdej liczby \(x \in \mathbf{R}\).

Podsumowanie:

• Dla \(m \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\) mamy jedno rozwiązanie: \(x = \frac{1}{m-4}\).
• Dla \(m = 4\) – równanie sprzeczne (brak rozwiązań).
• Dla \(m = -4\) – równanie tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań).