Równania i nierówności liniowe z parametrem

Poziom rozszerzony

Rozwiąż równanie \(a^2 x+x+5=3a-2x\) w zależności od parametru \(a\). Podaj rozwiązanie tego równania dla \(a=1\) i \(a=-2\).

\[ \begin{split} a^2x+x+5&=3a-2x \\[6pt] a^2x+3x&=3a-5 \\[6pt] x(a^2+3)&=3a-5\qquad /:(a^2+3) \\[6pt] x&=\frac{3a-5}{a^2+3} \end{split} \] W przedostatniej linijce mogliśmy bezpiecznie podzielić równanie stronami przez \(a^2+3\), ponieważ \(a^2+3 \neq 0\) dla \(a \in \mathbf{R}\).
Otrzymane rozwiązanie równania zależy od parametru \(a\).
Dla \(a=1\) mamy: \[x=\frac{3\cdot 1-5}{1^2+3}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\] Dla \(a=-2\) mamy: \[x=\frac{3\cdot (-2)-5}{(-2)^2+3}=-\frac{11}{7}\]

Rozwiąż równanie \(a^2x-4x=a+2\) w zależności od parametru \(a\).

\[\begin{split} a^2x-4x&=a+2\\[6pt] x(a^2-4)&=a+2 \end{split}\] W tym momencie chcemy podzielić równanie stronami przez \(a^2-4\), ale musimy założyć, że nie dzielimy przez zero. Zakładamy, że \(a^2-4 \ne 0\), czyli, że \(a\ne 2\) i \(a \ne -2\). Wówczas otrzymamy jedno rozwiązanie, które zależy od parametru \(a\): \[\begin{split} x(a^2-4)&=a+2\qquad /:(a^2-4) \\[6pt] x&=\frac{a+2}{a^2-4} \end{split}\] Pozostaje sprawdzić co się dzieje dla \(a= 2\) oraz \(a = -2\):

Dla \(a=2\) mamy: \[\begin{split} x(2^2-4)&=2+2\\[6pt] x\cdot 0=4 \end{split}\] To równanie jest sprzeczne dla każdej liczby \(x\in \mathbf{R}\).
Dla \(a=-2\) mamy: \[\begin{split} x((-2)^2-4)&=-2+2\\[6pt] x\cdot 0=0 \end{split}\] To równanie jest spełnione dla każdej liczby \(x\in \mathbf{R}\), czyli jest tożsamościowe.

Podsumowanie:

Dla \(a\in \mathbf{R} \backslash \{-2, 2\}\) mamy jedno rozwiązanie: \(x=\frac{a+2}{a^2-4}\). Możemy jeszcze to rozwiązanie uprościć: \[x=\frac{a+2}{(a-2)(a+2)}=\frac{1}{a-2}\]
Dla \(a=2\) mamy równanie sprzeczne.
Dla \(a=-2\) mamy równanie tożsamościowe.

W tym nagraniu pokazuję na kilku przykładach jak rozwiązywać równania i nierówności liniowe z parametrami. W filmie omawiam takie zadania jak:

Zadanie 1. Rozwiąż równanie w zależności od parametrów.

\(ax-x=a+2\)

\((a-1)x=a-1\)

\(a^2x-20x=5x+a-5\)

\(ax-\frac{1}{2}a=-3bx-2\)

\(|a^2-1|\cdot x=a-1\)

Zadanie 2. Rozwiąż nierówność w zależności od parametrów.

\(mx\gt 5\)

\(x-mx\le m-1\)

\(2x-a\gt bx-3\)

Zadanie 3. Dla jakiego parametru \(m\) równanie \((m-1)x+2=0\) ma rozwiązanie dodatnie.
Zadanie 4. Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\sqrt{4-mx}\) w zależności od parametru \(m\).

Czas nagrania: 40 min.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których równanie \(k^2x-1=x(3k-2)-k\) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

\(k\ne 2\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

\(a\in \left(-1;\frac{5}{2}\right)\)