Poziom studiów
Działania na liczbach zespolonych wykonujemy bardzo podobnie jak na
wyrażeniach algebraicznych.
Dodawaj liczby zespolone \(3+5i\) oraz \(7+11i\).
Grupujemy wyrazy i dodajemy: \[3+5i+7+11i=3+7+5i+11i=10+16i\]
Spostrzeżenie:
Powyższy rachunek wykonaliśmy analogicznie jak przy sumowaniu wyrażeń algebraicznych: \(3+5x\) oraz \(7+11x\): \[3+5x+7+11x=3+7+5x+11x=10+16x\]
Uprość wyrażenie \(10 - 7i - 5 + 4i\).
Grupujemy wyrazy i wykonujemy następujący rachunek: \[10 - 7i - 5 + 4i=10-5-7i+4i=5-3i\]
W działaniach na liczbach zespolonych często wykorzystujemy fakt: \[i^2=-1\]
Wykonaj mnożenie liczb zespolonych \((5+2i)\cdot (3-7i)\).
Mnożymy nawiasy metodą "wyraz za wyrazem": \[\begin{split} (5+2i)\cdot (3-7i)&=5\cdot 3-5\cdot 7i+2i\cdot 3-2i\cdot 7i=\\[6pt] &=15-35i+6i-14i^2=\\[6pt] &=15-29i-14\cdot (-1)=\\[6pt] &=15-29i+14=\\[6pt] &=29-29i \end{split} \]
Spostrzeżenie:
Powyższy rachunek byłby bardzo podobny dla analogicznych wyrażeń algebraicznych: \[\begin{split} (5+2x)\cdot (3-7x)&=5\cdot 3-5\cdot 7x+2x\cdot 3-2x\cdot 7x=\\[6pt] &=15-35x+6x-14x^2=\\[6pt] &=15-29x-14x^2 \end{split} \] Zauważmy, że działając na liczbach zespolonych mogliśmy bardziej uprościć wynik, korzystając z faktu: \(i^2=-1\).
Przykłady upraszczania wysokich potęg liczby urojonej \(i\):
\(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\)
\(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\)
\(i^{14}=(i^2)^7=(-1)^7=-1\)
\(i^{21}=(i^2)^{10}\cdot i^1=(-1)^{10}\cdot i=1\cdot i=i\)
\(i^{100}=(i^4)^{25}=1^{25}=1\)
Powyższe przykłady obliczania potęg postaci \(i^n\) można podsumować następującym twierdzeniem.
Twierdzenie
Niech \(n\) będzie liczbą naturalną. Wówczas:
- \(i^n = i\) jeżeli reszta z dzielenia liczby \(n\) przez \(4\) jest równa \(1\).
- \(i^n = -1\), jeżeli reszta z dzielenia liczby \(n\) przez \(4\) jest równa \(2\).
- \(i^n = -i\), jeżeli reszta z dzielenia liczby \(n\) przez \(4\) jest równa \(3\).
- \(i^n = 1\), jeżeli reszta z dzielenia liczby \(n\) przez \(4\) jest równa \(0\).
Fakt
Każde działanie na liczbach zespolonych można uprościć do liczby zespolonej postaci \(a + bi\), gdzie \(a,b\in \mathbb{R} \). Oblicz:
\((i^2+i^4+i^6)\cdot i^9=\)
\(i^{100}-i^{150}+i^{155}=\)
\(i^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}+...}=\)
Oblicz:
\((5+2i)+(3-9i)=\)
\((i-3)-(2-5i)=\)
\((i\sqrt{2}-1)\cdot (3i+2)=\)
Oblicz:
\(\frac{i^7+i^9}{i^8}=\)
\(\frac{2-7i}{3i}=\)
\(\frac{2+3i}{1-5i}=\)