Rozwiąż równanie\( (k-1)x=k^2-1\), gdzie \( k\) - parametr.
Musimy rozwiązać równanie, czyli wyliczyć \( x\)-a. W tym celu podzielimy równanie stronami przez wyrażenie stojące przed \( x\)-em: \[ \begin{split} \quad \qquad \qquad \qquad \qquad (k-1)x&=k^2-1\qquad //:(k-1)\quad \text{zakładamy, że: }k\ne 1\\[6pt] x&=\frac{k^2-1}{k-1} \end{split} \] Rozwiązaliśmy już równanie (wyliczyliśmy \( x\)-a), ale przy założeniu, że \( k\ne 1\) (przy dzieleniu równania stronami musieliśmy zrobić takie założenie, żeby uniknąć dzielenia przez zero). Teraz musimy jeszcze sprawdzić jak będzie wyglądało równanie dla \( k=1\). Podstawiamy: \[ \begin{split} (1-1)x&=1^2-1\\[6pt] 0\cdot x&=1-1\\[6pt] 0&=0 \end{split} \] Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, czyli takie, które jest zawsze prawdziwe (bez względu na \( x\)-a). Zatem dla \( k=1\) rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista.
Zadanie mamy już praktycznie zrobione, ale wróćmy jeszcze na chwilę do rozwiązania dla \( k\ne 1\). Możemy je uprościć stosując wzór skróconego mnożenia \( a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):
\[ \begin{split} x&=\frac{k^2-1}{k-1}\\[6pt] x&=\frac{(k-1)(k+1)}{k-1}\\[6pt] x&=k+1 \end{split} \] Zatem ostateczne rozwiązanie równania, to: \[ \begin{cases} x=k+1 \quad \text{dla }k\ne 1\\ x\in \mathbb{R} \quad \text{dla }k=1 \end{cases} \]
Rozwiąż równanie \(\left ( k^2-4 \right )x=k^3+8\), gdzie \(k\) - parametr.
Musimy rozwiązać równanie, czyli wyliczyć \(x\)-a. W tym celu podzielimy równanie stronami przez wyrażenie stojące przed \(x\)-em: \[\begin{split}\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \left ( k^2-4 \right )x&=k^3+8\qquad //:\left ( k^2-4 \right )\quad \text{zakładamy, że: }k^2-4\ne 0\\x&=\frac{k^3+8}{k^2-4}\end{split}\] Rozwiązaliśmy już równanie (wyliczyliśmy \(x\)-a) przy założeniu, że \(k^2-4\ne 0\) (przy dzieleniu równania stronami musieliśmy zrobić takie założenie, żeby uniknąć dzielenia przez zero). Zapiszmy prościej nasze założenie: \[\begin{split}k^2-4&\ne 0\\(k-2)(k+2)&\ne 0\\k-2\ne 0\quad &\land \quad k+2\ne 0\\k\ne 2\quad &\land \quad k\ne -2\end{split}\] Teraz musimy sprawdzić te dwa szczególne przypadki, czyli jak będzie wyglądało równanie dla \(k=2\) oraz dla \(k=-2\).
Podstawiamy najpierw \(k=2\): \[\begin{split}\left ( 2^2-4 \right )x&=2^3+8\\0\cdot x&=8+8\\0&=16\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, czyli takie, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywista \(x\).
Zatem dla \(k=2\) równanie nie ma rozwiązań.
Teraz sprawdźmy jak będzie wyglądało równanie dla \(k=-2\). Podstawiamy : \[\begin{split}\left ( (-2)^2-4 \right )x&=(-2)^3+8\\0\cdot x&=-8+8\\0&=0\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, czyli takie, które jest zawsze prawdziwe (bez względu na \(x\)-a).
Zatem dla \(k=-2\) rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista.
Wróćmy jeszcze na chwilę do rozwiązania, które otrzymaliśmy przy założeniu, że \(k^2-4\ne 0\). Możemy je uprościć stosując wzór skróconego mnożenia \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\):
\[\begin{split}x&=\frac{k^3+8}{k^2-4}\\x&=\frac{(k+2)(k^2-2k+2^2)}{k^2-4}\\x&=\frac{(k+2)(k^2-2k+4)}{(k+2)(k-2)}\\x&=\frac{k^2-2k+4}{k-2}\end{split}\] Zatem ostateczne rozwiązanie równania, to: \[\begin{cases}x=\frac{k^2-2k+4}{k-2} \quad \text{dla }k\in \mathbb{R}\backslash \left \{ -2, 2 \right \}\\x\in \mathbb{R} \quad \text{dla }k=-2\\x\in \emptyset \quad \text{dla }k=2\end{cases} \]
Rozwiąż równanie \(|x+2|=1\).
Podane równanie może być spełnione tylko wtedy, gdy pod wartością bezwzględną będzie stała liczba \(1\text{ lub }-1\).
Zapiszemy to tak: \[\begin{split}|x+2|&=1\\x+2=1\quad &\lor \quad x+2=-1\\x=-1\quad &\lor \quad x=-3\end{split}\] Zatem mamy dwa rozwiązania równania: \(x=-1\text{ lub }x=-3\).
Rozwiąż równanie \(|x-1|=-1\).
To równanie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna z dowolnej liczby (wyrażenia) zawsze jest dodatnia lub ewentualnie równa zero.
Bez względu na to, jaką liczbę podstawimy pod \(x\), wyrażenie \(|x-1|\) zawsze będzie liczbą nieujemną.
Czyli niemożliwe jest aby wyrażenie \(|x-1|\) przyjęło wartość \(-1\).
Zatem równanie jest sprzeczne, czyli nie ma rozwiązań.
Rozwiąż równanie \(|x-2|=2-x\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się wartości bezwzględnej.
Abyśmy mogli opuścić moduł, to musimy ustalić kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie, a kiedy ujemne. Sprawdzamy: \[\begin{split}x-2&\ge 0\\x&\ge 2\end{split}\] Zatem wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie dla \(x\ge 2\) i w takim przypadku możemy opuścić moduł bez zmiany znaku.
Jeżeli natomiast rozwiązujemy równanie w przedziale \(x\lt 2\), to opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku. Rozpiszmy te dwa przypadki.
- Dla \(x\ge 2\): \[\begin{split}|x-2|&=2-x\\x-2&=2-x\\2x&=4\\x&=2\end{split}\] Rozwiązanie \(x=2\) należy do rozpatrywanego przedziału (\(x\ge 2\)), zatem jest dobrym rozwiązaniem.
- Dla \(x\lt 2\): \[\begin{split}|x-2|&=2-x\\-(x-2)&=2-x\\-x+2&=2-x\\0&=0\\\end{split}\] W tym przypadku otrzymaliśmy równanie tożsamościowe (prawdziwe dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\)), zatem wszystkie liczby z przedziału \(x\lt 2\) są prawidłowymi rozwiązaniami danego równania.
Zatem z 1. i 2. wynika, że rozwiązaniem równania są \(x = 2\text{ oraz } x\in (-\infty ; 2)\).
Całą odpowiedź możemy krócej zapisać tak: \(x\in (-\infty ; 2 \rangle\).
Rozwiąż równanie \(|x+3|-|x-3|=4\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+3&\ge 0\\x&\ge -3\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-3 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -3\) | dla \(x\in \langle -3; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+3\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -3\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|-|x-3|&=4\\-(x+3)-\left ( -(x-3) \right )&=4\\-x-3+(x-3)&=4\\-x-3+x-3&=4\\-6&=4\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem w tym przedziale nie ma rozwiązań.
- Dla \(x\in \langle -3; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|-|x-3|&=4\\(x+3)-\left ( -(x-3) \right )&=4\\x+3+(x-3)&=4\\x+3+x-3&=4\\2x&=4\\x&=2\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które należy do rozważanego przedziału \(\langle -3; 3 )\), zatem jest to dobre rozwiązanie.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+3|-|x-3|&=4\\(x+3)-(x-3)&=4\\x+3-x+3&=4\\6&=4\end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem w tym przedziale nie ma rozwiązań.
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymaliśmy tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=2\).
Rozwiąż równanie \(|x+3|+|x-3|=6\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+3&\ge 0\\x&\ge -3\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-3 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -3\) | dla \(x\in \langle -3; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+3\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -3\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=6\\-(x+3)-(x-3)&=6\\-x-3-x+3&=6\\-2x&=6\\x&=-3\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które nie należy do rozważanego przedziału \(\langle -\infty ; -3 )\), zatem nie bierzemy tego rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -3; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=6\\(x+3)-(x-3)&=6\\x+3-x+3&=6\\6&=6\\\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie tożsamościowe (prawdziwe dla każdego \(x\)), zatem cały przedział \(x\in \langle -3; 3 )\) jest dobrym rozwiązaniem równania.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=6\\(x+3)+(x-3)&=6\\x+3+x-3&=6\\2x&=6\\x&=3\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które należy do rozważanego przedziału \(\langle 3; +\infty)\), zatem \(x=3\) jest dobrym rozwiązaniem równania.
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymaliśmy rozwiązania: \(x\in \langle -3; 3 ) \text{ oraz } x=3\).
Całą odpowiedź możemy krócej zapisać tak: \(x\in \langle -3; 3 \rangle\)
Rozwiąż równanie \(|x+3|+|x-3|=4\).
Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+3&\ge 0\\x&\ge -3\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-3 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -3\) | dla \(x\in \langle -3; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+3\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -3\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=4\\-(x+3)-(x-3)&=4\\-x-3-x+3&=4\\-2x&=4\\x&=-2\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które nie należy do rozważanego przedziału \(\langle -\infty ; -3 )\), zatem nie bierzemy tego rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -3; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=4\\(x+3)-(x-3)&=4\\x+3-x+3&=4\\6&=4\\\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie sprzeczne, zatem w przedziale \(x\in \langle -3; 3 )\) równanie nie ma ani jednego rozwiązania.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+3|+|x-3|&=4\\(x+3)+(x-3)&=4\\x+3+x-3&=4\\2x&=4\\x&=2\end{split}\] Otrzymaliśmy rozwiązanie, które nie należy do rozważanego przedziału \(\langle 3; +\infty)\), zatem \(x=2\) nie jest poprawnym rozwiązaniem.
Ostatecznie w żadnym z punktów 1., 2. oraz 3. nie otrzymaliśmy rozwiązania, zatem całe równanie jest sprzeczne.
Rozwiąż nierówność \(|x+1| > k\), gdzie \(k\) - parametr.
Zauważmy na początku, że jeżeli parametr \(k\) jest liczbą ujemną, to podana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby \(x\). Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze dodatnia lub równa zero, zatem gdy napiszemy, że ma być większa od czegoś ujemnego, to to będzie na pewno prawda. Można to zobrazować w ten sposób: \[\underbrace{|\text{dowolna liczba}|>\text{liczba ujemna}}_{prawda} \] Zatem dla \(k<0\) rozwiązaniem nierówności jest \(x\in \mathbb{R} \).
Rozwiążemy teraz nierówność dla \(k \ge 0\).
Opuścimy wartość bezwzględną i w rezultacie otrzymamy dwie nierówności już bez modułów. W nierówności występuje znak większości ( \(>\)) zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "lub" ( \(\lor \) ).
\[\begin{split}|x+1|&>k\\x+1>k\qquad &\lor \qquad x+1<-k\\x>k-1\qquad &\lor \qquad x<-k-1\end{split}\] Zatem dla \(k \ge 0\) rozwiązaniem są dwa przedziały: \(x<-k-1 \text{ oraz } x>k-1\). Możemy to równoważnie zapisać w taki sposób: \(x\in (-\infty ;-k-1)\cup (k-1;+\infty )\).
Zatem ostateczna odpowiedź do zadania, to:
\[\begin{cases}x\in \mathbb{R} \quad \text{dla } k<0\\x\in (-\infty ;-k-1)\cup (k-1;+\infty ) \quad \text{dla } k\ge 0\end{cases} \]
Rozwiąż nierówność \(|x+1| \le k\), gdzie \(k\) - parametr.
Zauważmy na początku, że jeżeli parametr \(k\) jest liczbą ujemną, to podana nierówność jest sprzeczna dla każdej liczby \(x\). Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemna. Zatem jeśli napiszemy, że moduł ma być mniejszy lub równy od jakiejś liczby ujemnej, to będzie to na pewno nieprawda. Można to zobrazować w ten sposób: \[\underbrace{\underbrace{|\text{dowolna liczba}|}_{+}\le \underbrace{\text{liczba ujemna}}_{-}}_{fałsz} \] Zatem dla \(k<0\) nierówność jest sprzeczna, czyli \(x\in \emptyset \).
Rozwiążemy teraz nierówność dla \(k \ge 0\).
Opuścimy wartość bezwzględną i w rezultacie otrzymamy dwie nierówności już bez modułów. W nierówności występuje znak mniejszości ( \(\le \)) zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "i" ( \(\land \) ).
\[\begin{split}|x+1|&\le k\\x+1\le k\qquad &\land \qquad x+1\ge -k\\x\le k-1\qquad &\land \qquad x\ge -k-1\end{split}\] Zatem dla \(k \ge 0\) rozwiązaniem jest część wspólna dwóch przedziałów: \(x\ge -k-1 \text{ oraz } x\le k-1\). Możemy to równoważnie zapisać w taki sposób: \(x\in \langle -k-1;k-1 \rangle\).
Zatem ostateczna odpowiedź do zadania, to:
\[\begin{cases}x\in \emptyset \quad \text{dla } k<0\\x\in \langle -k-1;k-1 \rangle \quad \text{dla } k\ge 0\end{cases} \]
Rozwiąż nierówność \(|x-2|>-1\).
Zauważmy, że po prawej stronie nierówności mamy liczbę ujemną \(-1\). Po lewej stronie mamy moduł, który zawsze (bez względu na to jaką liczbę podstawimy pod \(x\)) jest dodatni lub równy zero. Czyli lewa strona zawsze jest większa od prawej.
Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\), więc rozwiązaniem jest \(x\in \mathbb{R} \).
Rozwiąż nierówność \(|x-2|\ge 1\).
Opuścimy wartość bezwzględną i zamienimy tą jedną nierówność na dwie nierówności, ale już bez modułów.
W nierówności występuje znak większości ( \(\ge \)), zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "lub" ( \(\lor \) ). \[\begin{split}|x-2|&\ge 1\\x-2\ge 1 \quad &\lor \quad x-2\le -1\\x\ge 3 \quad &\lor \quad x\le 1\end{split}\] Zatem rozwiązaniem nierówności jest suma dwóch przedziałów \(x\le 1 \text{ oraz } x\ge 3\).
Czyli \(x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )\).
Rozwiąż nierówność \(|x-2|<-1\).
Po prawej stronie nierówności mamy liczbę ujemną \(-1\). Po lewej stronie mamy moduł, który zawsze (bez względu na to jaką liczbę podstawimy pod \(x\)) jest dodatni lub równy zero. Czyli lewa strona nie może być mniejsza od prawej.
Zatem nierówność jest sprzeczna bez względu na to jaką liczbę podstawimy pod \(x\). Więc rozwiązaniem jest \(x\in \emptyset \).
Rozwiąż nierówność \(|x-2|\le 1\).
Opuścimy wartość bezwzględną i zamienimy tą jedną nierówność na dwie nierówności, ale już bez modułów.
W nierówności występuje znak mniejszości ( \(\le \)), zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "i" ( \(\land \) ). \[\begin{split}|x-2|&\le 1\\x-2\le 1 \quad &\land \quad x-2\ge -1\\x\le 3 \quad &\land \quad x\ge 1\end{split}\] Zatem rozwiązaniem nierówności jest część wspólna dwóch przedziałów \(x\ge 1 \text{ oraz } x\le 3\).
Czyli \(x\in \langle 1; 3 \rangle\).
Rozwiąż nierówność \(|5x-2|\ge x\).
W tej nierówności \(x\) występuje również poza wartością bezwzględną, zatem będziemy musieli rozwiązać nierówność przedziałami.
Ustalmy na początku kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie: \[\begin{split}5x-2&\ge 0\\5x&\ge 2\\x&\ge \frac{2}{5}\end{split}\] Zatem w przedziale \(x\in \langle \frac{2}{5}; +\infty )\) wyrażenie \(5x-2\) jest dodatnie czyli opuścimy moduł bez zmiany znaku.
Dla \(x\in (-\infty; \frac{2}{5})\) wyrażenie \(5x-2\) jest ujemne, więc w tym przedziale moduł opuścimy ze zmianą znaku.
Rozpiszmy te dwa przypadki:
- Dla \(x\in \langle \frac{2}{5}; +\infty )\) mamy: \[|5x-2|\ge x\\5x-2\ge x\\4x\ge2\\x\ge \frac{1}{2}\] Czyli wyszło nam, że \(x\in \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\), ale teraz musimy jeszcze wziąć część wspólną tego rozwiązania z założeniem, czyli przedziałem \(x\in \langle \frac{2}{5}; +\infty )\).
Mamy zatem: \(x\in \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\cap \langle \frac{2}{5}; +\infty )\), czyli \(x\in \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\). - Dla \(x\in (-\infty; \frac{2}{5})\) mamy: \[|5x-2|\ge x\\-(5x-2)\ge x\\-5x+2\ge x\\-6x\ge-2\\x\le \frac{1}{3}\] Czyli wyszło nam, że \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle\), ale teraz musimy jeszcze wziąć część wspólną tego rozwiązania z założeniem, czyli przedziałem \(x\in (-\infty; \frac{2}{5})\).
Mamy zatem: \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle\cap (-\infty; \frac{2}{5})\), czyli \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle\).
Zatem ostatecznie z 1. i 2. otrzymujemy rozwiązanie naszej nierówności, które jest sumą dwóch przedziałów: \(x\in (-\infty ; \frac{1}{3} \rangle \cup \langle \frac{1}{2} ; +\infty)\).
Rozwiąż nierówność \(|x+1|-|x-2|\ge 1\).
Rozwiązywanie tej nierówności zaczniemy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+1&\ge 0\\x&\ge -1\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-2&\ge 0\\x&\ge 2\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-1 \text{ oraz } x=2\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -1\) | dla \(x\in \langle -1; 2 )\) | dla \(x\ge 2\) |
| wyrażenie \(x+1\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-2\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -1\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+1|-|x-2|&\ge 1\\-(x+1)+(x-2)&\ge 1\\-x-1+x-2&\ge 1\\-3&\ge 1\\\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną, czyli w przedziale \(x < -1\) nierówność nie ma rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -1; 2 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+1|-|x-2|&\ge 1\\x+1+(x-2)&\ge 1\\2x-1&\ge 1\\2x&\ge 2\\x&\ge 1\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania z przedziałem \(x\in \langle -1; 2 )\) i otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in \langle 1; 2 )\)
- Dla \(x \ge 2\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+1|-|x-2|&\ge 1\\x+1-(x-2)&\ge 1\\x+1-x+2&\ge 1\\3&\ge 1\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową, czyli taką, którą spełnia każda liczba rzeczywista \(x\). Zatem w tym przypadku rozwiązaniem będzie cały rozważany przedział: \(x \in \langle 2;+\infty )\)
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in \langle 1; 2 )\cup \langle 2;+\infty )\), czyli \(x\in \langle 1;+\infty )\).
Rozwiąż nierówność \(|x+2|+|x-3| > 5\).
Rozwiązywanie tej nierówności zaczniemy od pozbycia się obu wartości bezwzględnych.
Abyśmy mogli opuścić moduły, to musimy ustalić kiedy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+2&\ge 0\\x&\ge -2\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-3&\ge 0\\x&\ge 3\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=-2 \text{ oraz } x=3\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -2\) | dla \(x\in \langle -2; 3 )\) | dla \(x\ge 3\) |
| wyrażenie \(x+2\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
| wyrażenie \(x-3\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -2\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+2|+|x-3|&> 5\\-(x+2)-(x-3)&>5\\-x-2-x+6&>5\\-2x+4&>5\\-2x&>1\\x&<-\frac{1}{2}\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania: \(x\in \left ( -\infty ;-\frac{1}{2} \right )\) z przedziałem z założenia: \(x\in (-\infty ;-2)\) i otrzymujemy ostatecznie, że \(x\in (-\infty ;-2)\).
- Dla \(x\in \langle -2; 3 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. Pierwszy moduł opuścimy zatem bez zmiany znaku, a drugi ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x+2|+|x-3|& > 5\\x+2-(x-3)&>5\\x+2-x+3&>5\\5&>5\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną, czyli w przedziale \(x\in \langle -2; 3 )\) nierówność nie ma rozwiązań.
- Dla \(x \ge 3\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x+2|+|x-3|&> 5\\x+2+x-3>5\\2x-1>5\\2x>6\\x>3\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania: \(x\in (3; +\infty )\) z przedziałem z założenia: \(x\in (3; +\infty )\) i otrzymujemy ostatecznie, że \(x\in (3; +\infty )\).
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in (-\infty ;-2)\cup (3; +\infty )\).
Rozwiąż nierówność \(|x-1|<|x+1|\).
Rozwiązywanie tej nierówności zaczniemy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę: \[\begin{split}|x-1|&<|x+1|\\|x-1|-|x+1|&<0\end{split}\] Teraz pozbędziemy się wartości bezwzględnych.
W tym celu musimy ustalić kiedy wyrażenia pod modułami są dodatnie, a kiedy ujemne.
Wyrażenie pod pierwszą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x-1&\ge 0\\x&\ge 1\end{split}\] Wyrażenie pod drugą wartość bezwzględną jest dodatnie jeśli: \[\begin{split}x+1&\ge 0\\x&\ge -1\end{split}\]
Zatem wyrażenia pod modułami będą zmieniały znak dla argumentów \(x=1 \text{ oraz } x=-1\). Te dwie liczby wyznaczają w sumie trzy przedziały, w których będziemy musieli opuszczać wartości bezwzględne z odpowiednimi znakami.
Przedstawmy te informacje w tabelce:
| dla \(x < -1\) | dla \(x\in \langle -1; 1 )\) | dla \(x\ge 1\) |
| wyrażenie \(x-1\) | ujemne | ujemne | dodatnie |
| wyrażenie \(x+1\) | ujemne | dodatnie | dodatnie |
Teraz rozpiszemy każdy z tych przypadków oddzielnie.
- Dla \(x < -1\) wyrażenia pod oboma modułami są ujemne, więc opuszczamy je ze zmianą znaku: \[\begin{split}|x-1|-|x+1|&< 0\\-(x-1)+(x+1)&<0\\-x+1+x+1&<0\\2&<0\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną, czyli w przedziale \(x < -1\) nierówność nie ma rozwiązania.
- Dla \(x\in \langle -1; 1 )\) wyrażenie pod pierwszym modułem jest ujemne, a pod drugim dodatnie. Pierwszy moduł opuścimy zatem ze zmianą znaku, a drugi bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x-1|-|x+1|&< 0\\-(x-1)-(x+1)&<0\\-x+1-x-1&<0\\-2x&<0\\x&>0\end{split}\] Bierzemy część wspólną otrzymanego rozwiązania: \(x\in (0;+\infty )\) z przedziałem z założenia: \(x\in \langle -1; 1 )\) i otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in (0; 1 )\)
- Dla \(x \ge 1\) wyrażenia pod oboma modułami są dodatnie, więc opuszczamy je bez zmiany znaku: \[\begin{split}|x-1|-|x+1|&< 0\\x-1-(x+1)&<0\\x-1-x-1&<0\\-2&<0\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową, czyli taką, którą spełnia każda liczba rzeczywista \(x\). Zatem w tym przypadku rozwiązaniem będzie cały rozważany przedział: \(x \in \langle 1;+\infty )\)
Ostatecznie z punktów 1., 2. oraz 3. otrzymujemy rozwiązanie: \(x\in (0; 1 )\cup \langle 1;+\infty )\), czyli \(x\in (0;+\infty )\).
Rozwiąż nierówność \(\bigl | |x-2|-2 \bigl |\lt 1\).
Na początku opuścimy zewnętrzną wartość bezwzględną i zamienimy tą jedną nierówność na dwie nierówności, ale już bez zewnętrznego modułu.
W nierówności występuje znak mniejszości ( \(< \)), zatem otrzymane nierówności będą połączone spójnikiem "i" ( \(\land \) ). \[\begin{split}\bigl | |x-2|-2 \bigl |&<1\\|x-2|-2<1 \quad &\land \quad |x-2|-2>-1\\|x-2|<3 \quad &\land \quad |x-2|>1\end{split}\] Otrzymaliśmy dwie nierówności z wartościami bezwzględnymi i teraz będziemy musieli każdą z nich oddzielnie rozwiązać. Na koniec weźmiemy część wspólną obu otrzymanych rozwiązań (bo nierówności są połączone spójnikiem "i").
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
\[\begin{split}|x-2|&<3\\x-2<3\quad &\land \quad x-2>-3\\x<5\quad &\land \quad x>-1\\x&\in (-1;5)\end{split}\]
Teraz rozwiązujemy drugą nierówność:
\[\begin{split}|x-2|&>1\\x-2>1\quad &\lor \quad x-2<-1\\x>3\quad &\lor \quad x<1\\x&\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )\end{split}\] Teraz bierzemy część wspólną dwóch otrzymanych przedziałów: \(x\in (-1;5)\cap \bigl ( (-\infty ;1)\cup (3;+\infty ) \bigl )\).
Czyli \(x\in (-1;1)\cup (3;5)\).