Pierwiastek kwadratowy

Drukuj

Szkoła podstawowa

Pierwiastek kwadratowy zapisujemy tak:

Jak obliczamy?

Pierwiastek z liczby obliczamy tak, że szukamy liczby, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę pod pierwiastkiem.

\(\sqrt{4}=2\), ponieważ \(2^2=4\)
\(\sqrt{9}=3\), ponieważ \(3^2=9\)
\(\sqrt{49}=7\), ponieważ \(7^2=49\)
\(\sqrt{100}=10\), ponieważ \(10^2=100\)

Wynikiem pierwiastkowania jest zawsze liczba dodatnia (lub równa zero)!
Tak samo pod pierwiastkiem może stać tylko liczba nieujemna.
Pierwiastek z liczby ujemnej jest nieokreślony w liczbach rzeczywistych.

\(\sqrt{-4}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

\(\sqrt{-10}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Jak czytamy?

Np. \(\sqrt{16}\) czytamy: pierwiastek z \(16\), lub pierwiastek kwadratowy z \(16\), lub pierwiastek drugiego stopnia z \(16\).

Związek z potęgowaniem

Dla liczb nieujemnych pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania.

Do sprawnego liczenia pierwiastków przydaje się znajomość potęg liczb naturalnych:

\(2^2 = 4\)
\(3^2 = 9\)
\(4^2 = 16\)
\(5^2 = 25\)
\(6^2 = 36\)
\(7^2 = 49\)
\(8^2 = 64\)
\(9^2 = 81\)
\(10^2 = 100\)
\(11^2 = 121\)
\(12^2 = 144\)
\(13^2 = 169\)
\(14^2 = 196\)
\(15^2 = 225\)
\(16^2 = 256\)
\(17^2 = 289\)
\(18^2 = 324\)
\(19^2 = 361\)
\(20^2 = 400\)

\(\sqrt{144}=12\), ponieważ \(12^2=144\).
\(\sqrt{196}=14\), ponieważ \(14^2=196\).
\(\sqrt{289}=17\), ponieważ \(17^2=289\).

Pierwiastek z ułamka

\(\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}\), ponieważ \(\left(\frac{1}{4}\right )^2=\frac{1}{16}\)
\(\sqrt{\frac{25}{81}}=\frac{5}{9}\), ponieważ \(\left(\frac{5}{9}\right )^2=\frac{25}{81}\)
\(\sqrt{\frac{256}{361}}=\frac{16}{19}\), ponieważ \(\left(\frac{16}{19}\right)^2=\frac{256}{361}\).
\(\sqrt{-\frac{4}{9}}\), nie istnieje ponieważ \(-\frac{4}{9}\) jest liczbą ujemną.

Aby obliczyć pierwiastek z ułamka mieszanego, to należy go zamienić na ułamek niewłaściwy:

\(\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\sqrt{5\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}\)
\(\sqrt{3\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}\)

Pierwiastki z ułamków dziesiętnych:

\(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\), bo \(0{,}2^2=0{,}04\)
\(\sqrt{0{,}36}=0{,}6\), bo \(0{,}6^2=0{,}36\)
\(\sqrt{1{,}44}=1{,}2\), bo \(1{,}2^2=1{,}44\)
\(\sqrt{2{,}56}=1{,}6\), bo \(1{,}6^2=2{,}56\)
\(\sqrt{3{,}24}=1{,}8\), bo \(1{,}8^2=3{,}24\)
\(\sqrt{0{,}0144}=0{,}12\), bo \(0{,}12^2=0{,}0144\)

Wyrażenia z pierwiastkami

Oto przykłady upraszczania wyrażeń z pierwiastkami:

\(3\sqrt{16}=3\cdot 4=12\)
\(4\sqrt{25} = 4\cdot 5 = 20\)
\(5\sqrt{9}-3\sqrt{16}=5\cdot 3-3\cdot 4=15-12=3\)
\(6\sqrt{36} + 2\sqrt{49} = 6\cdot 6 + 2\cdot 7 = 36 + 14 = 50\)
\(\frac{\sqrt{25}+2\sqrt{9}}{\sqrt{64}}=\frac{5+2\cdot 3}{8}=\frac{11}{8}\)
\(\frac{\sqrt{81}+1}{\sqrt{49}+3\sqrt{16}} = \frac{9 +1}{7+ 3\cdot 4} = \frac{10}{19}\)